Hogy lehet bebizonyítani, hogy négyzetgyök alatt 10 racionális, vagy irracionális szám?

bontsd fel sqrt2*sqrt5. az sqrt2-re pedig ott a bizonyítás.

[link]

Ugyanaz az alapelv, mint a √2 esetében.

Indirekt módon tegyük, fel, hogy √10 = a/b (a,b∈ℤ)

⇓

2 · 5 · b² = a²

Négyzetszám príményezős felbontásában minden prímszám páros kitevőn szerepel (ami 0 is lehet),

ezért a kapott egyenlet jobb oldalán 2-nek páros a kitevője, míg a bal oldalon páratlan

Ez ellentmond a prímtényezős felbontás egyértelműségének, ellentmondásra jutottunk, tehát hamis volt az állítás.

(2 helyett 5-re ugyanígy ment volna.)

Nem árt az óvatosság, pl. √36 = 6 racionális, pedig a

√36 = √18 · √2 felbontásban mindkét tényező irracionális.

racionális · racionális = racionális

racionális · irracionális = irracionális

irracionális · irracionális = bármelyik lehet