Hogyan kell bebizonyítani, hogy a gyök2 irracionális szám? Mi a menete?

Felteszed hogy racionalis es ellentmondasra jutsz.

Ezt igy tudod megtenni:

Ha racionalis, akkor felirhato ket egesz szam hanyadosakent, ugy, hogy ezeknek az egesz szamoknak a legnagyobb kozos osztoja 0 legyen.

√2 = a/b ahol (a,b)=1

Emeld neyzetre mindket oldalt:

2= a^2 /b^2

szorozz at b^2 -tel

2*b^2 = a^2

A baloldal osthato 2-vel ezert a jobb oldal is.

Ez csak ugy lehetseges, ha "a" oszthato 2-vel.

De akkor a^2 vagyis a jobb oldal oszthato lesz 4-gyel,

vagyis a bal oldal is.

Ez csak ugy lehet, ha b oszthato 2-vel.

Viszont akkor a es b legnagyobb kozos osztoja legalabb 2, ami ellentetes a feltevesunkkel, vagyis √2 nem lehet racionalis, ugyanis ha az lenne, akkor lenne ket olyan paros egesz szam aminek a legnagyobb kozos osztoja 1.