Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Az összes irracionális számot...

Az összes irracionális számot le tudnátok írni?

Figyelt kérdés
2012. aug. 3. 11:08
 1/3 anonim ***** válasza:

Az irracionális számok sokasága is végtelen.

Legismertebbek: gyök2 és a pi.

De irracionális minden olyan szám, melynek tizedes tört alakja végtelen és nem szakaszos.

2012. aug. 3. 11:42
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/3 anonim ***** válasza:
max Chuck Norris. :-D
2012. aug. 3. 15:26
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/3 bongolo ***** válasza:
100%

Kicsit más van itt a kérdésben, nem csak annyi, hogy végtelen sok van belőle. Mondjuk a pozitív egész számokat le lehet írni, hiába van belőlük végtelen, csak végtelen sok idő kell hozzá :)


Ez nem vicc akar lenni, meg nem komolytalanság, egyszerűen csak az, hogy a pozitív egész számokat fel tudjuk sorolni egymás után: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...


Hasonlóan az egész számokat is fel lehet sorolni: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...


Ugyanez igaz mondjuk a pozitív racionális számokra is:


1/1, 1/2, 2/2, 2/1, 1/3, 2/3, 3/3, 3/2, 3/1, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 4/3, 4/2, 4/1, 1/5, ...

Itt egy számot többször is felsoroltam, hisz 1/1, 2/2, 3/3, stb. ugyanazok, meg persze 1/2 és 2/4 is, de ez elméletileg nem számít. Van rá egy algoritmus, ami biztos, hogy mindegyiket beveszi a sorba legalább egyszer.


A negatívakat az egészekhez hasonlóan itt is közbe tudjuk szúrni, tehát minden racionális számot is fel lehet sorolni, nem csak a pozitívakat.


Ezt úgy mondjuk, hogy a racionális számok számossága megegyezik a valós szamok számosságával: mindkettő megszámlálhatóan végtelen.


Viszont most jönnek az irracionális számok: Azokat nem lehet felírni egymás után úgy, hogy ne maradjon ki egyetlen egy sem. (Mindjárt mutatom, hogy miért.) Ezt úgy mondjuk, hogy az irracionális számok nem megszámlálható sokan vannak, a számosságuk kontinuum.


Annak bizonyítása, hogy nem lehet őket felírni egymás után: Indirekt bizonyítás: Tegyük fel, hogy egy orákulum segítségével mégiscsak találunk egy módszert, amivel felírjuk az elsőtől kezdve sorban a számokat. Pl. így:

1. pi: 3,1415926535...

2. √2: 1,4142135623...

3. √3: 1,7320508075...

4. e:   2,7182818284...

5. pl. 0,10110111011110...

6. stb...


Na most generáljunk egy ilyen számot: Az első számjegy legyen a fenti sorban a legelső szám első jegye eggyel növelve (ha 9 lenne, akkor 0 lesz). Aztán a második számjegy legyen a második fenti szám második számjegye eggyel növelve. A harmadik hasonlóan a harmadik szám harmadik számjegye eggyel növelve, és így tovább. Ez a szám biztos, hogy nincs benne a fenti sorban, hisz annak bármelyik tagjától legalább egy számjegyben különbözik. Vagyis találtunk egy számot, ami nincs felsorolva, megdőlt az indukciós feltevés, a tétel igaz.


Megjegyzés: Valójában azt bizonyítottam az előbb, hogy a valós számok nem megszámlálhatóak, hanem annál többen vannak, de ebből már az irracionálisok nem megszámlálhatósága is következik.

2012. aug. 3. 16:38
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:




Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!