Az összes irracionális számot le tudnátok írni?

Az irracionális számok sokasága is végtelen.

Legismertebbek: gyök2 és a pi.

De irracionális minden olyan szám, melynek tizedes tört alakja végtelen és nem szakaszos.

Kicsit más van itt a kérdésben, nem csak annyi, hogy végtelen sok van belőle. Mondjuk a pozitív egész számokat le lehet írni, hiába van belőlük végtelen, csak végtelen sok idő kell hozzá :)

Ez nem vicc akar lenni, meg nem komolytalanság, egyszerűen csak az, hogy a pozitív egész számokat fel tudjuk sorolni egymás után: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Hasonlóan az egész számokat is fel lehet sorolni: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...

Ugyanez igaz mondjuk a pozitív racionális számokra is:

1/1, 1/2, 2/2, 2/1, 1/3, 2/3, 3/3, 3/2, 3/1, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 4/3, 4/2, 4/1, 1/5, ...

Itt egy számot többször is felsoroltam, hisz 1/1, 2/2, 3/3, stb. ugyanazok, meg persze 1/2 és 2/4 is, de ez elméletileg nem számít. Van rá egy algoritmus, ami biztos, hogy mindegyiket beveszi a sorba legalább egyszer.

A negatívakat az egészekhez hasonlóan itt is közbe tudjuk szúrni, tehát minden racionális számot is fel lehet sorolni, nem csak a pozitívakat.

Ezt úgy mondjuk, hogy a racionális számok számossága megegyezik a valós szamok számosságával: mindkettő megszámlálhatóan végtelen.

Viszont most jönnek az irracionális számok: Azokat nem lehet felírni egymás után úgy, hogy ne maradjon ki egyetlen egy sem. (Mindjárt mutatom, hogy miért.) Ezt úgy mondjuk, hogy az irracionális számok nem megszámlálható sokan vannak, a számosságuk kontinuum.

Annak bizonyítása, hogy nem lehet őket felírni egymás után: Indirekt bizonyítás: Tegyük fel, hogy egy orákulum segítségével mégiscsak találunk egy módszert, amivel felírjuk az elsőtől kezdve sorban a számokat. Pl. így:

1. pi: 3,1415926535...

2. √2: 1,4142135623...

3. √3: 1,7320508075...

4. e:   2,7182818284...

5. pl. 0,10110111011110...

6. stb...

Na most generáljunk egy ilyen számot: Az első számjegy legyen a fenti sorban a legelső szám első jegye eggyel növelve (ha 9 lenne, akkor 0 lesz). Aztán a második számjegy legyen a második fenti szám második számjegye eggyel növelve. A harmadik hasonlóan a harmadik szám harmadik számjegye eggyel növelve, és így tovább. Ez a szám biztos, hogy nincs benne a fenti sorban, hisz annak bármelyik tagjától legalább egy számjegyben különbözik. Vagyis találtunk egy számot, ami nincs felsorolva, megdőlt az indukciós feltevés, a tétel igaz.

Megjegyzés: Valójában azt bizonyítottam az előbb, hogy a valós számok nem megszámlálhatóak, hanem annál többen vannak, de ebből már az irracionálisok nem megszámlálhatósága is következik.