Hogyan lehet bebizonyitani hogy a ⁵√2 irracionális?

Indirekt bizonyítással.

Tegyük fel az ellenkezőjét:

⁵√2 = p/q

ahol p és q relatív prímek. (Tehát pl. csak az egyiknek lehet 2 a törzstényezős felbontásában.)

Szorozzunk át és vegyük az ötödik hatványt:

2·q⁵ = p⁵

- Ha q törzstényezős felbontásában volt 2ⁿ, akkor a bal oldalon 5n+1 darab 2-es prím van, a jobb oldalon egy sem, ellentmondás.

- Ha p törzstényezős felbontásában volt 2ⁿ, akkor a bal oldalon 1 darab 2-es prím van, a jobb oldalon 5n darab, ellentmondás.

- Ha egyikben sincs 2, akkor a bal oldalon egy, a jobb oldalon 0 darab 2-es van a törzstényezős felbontásban, ellentmondás.

Az ellentmondások a számelmélet alaptétele miatt vannak.

A feltevés, hogy racionális, ellentmondásra vezetett, ezért bebizonyítottuk, hogy irracionális.