Hogyan kell bebizonyítani, hogy a gyök 7 irracionális? Vagy a gyök alatt 7 +1 irracionális?

A gyök 7 irracionális szám

Indirekt bizonyítás, azaz azt fogjuk bizonyítani, hogy nem lehet racionális. A bizonyítás Eukleidész-től származik.

Bizonyítás:

Tételezzük fel, hogy racionális, azaz felírható két egész szám hányadosaként, a/b alakban, ahol a, b egész számok, és b nem nulla. Azt is feltételezhetjük, hogy (a,b)=1, azaz egymáshoz képest relatív prímek, azaz a tört tovább nem egyszerűsíthető.

gyök7= a/b

Az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emelve

7=a^2/b^2

Az egyenlőséget b^2-tel szorozva: 7b^2= a^2.

Tehát a^2 osztható 7-tel, de akkor "a" is , a=7c alakban felírható, így a^2=49c^2.

Ebből: 7b^2=49c^2, azaz b^2=7c^2.

Azaz b^2 osztható 7-tel , tehát "b" is, ami nem lehetséges, hiszen feltételeztük, hogy a és b egymáshoz képest relatív prímek.

Ellenmondásra jutottunk, a kiinduló feltételezésünk hibás, gyök 7 nem lehet racionális szám.