Miért mondják hogy az irracionális és a racionális számok alkotják a valós számok halmazát? Miért nem azt, hogy az egész számok, az irracionális és a racionális alkotja?

Azért magyarázzuk meg, lehet, hogy nem magától értetődő; definíció szerint racionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként. Például a 2/5 egy racionális szám, mert a 2 és az 5 hányadosaként fel lehet írni az értékét. A 0,579 is felírható két egész szám hányadosaként; például az 579 és az 1000 hányadosa pont ennyi. A 0,333... is felírható; ez az 1 és a 3 hányadosa.

Az egész számok bármikor felírhatóak, csak vennünk kell az egész számot és az 1-et, például a 8 felírható a 8 és az 1 hányadosaként, tehát a 8 racionális szám, és ugyanez elmondható az összes egész számról.

Egy kivétel azért akad; ha vesszük a 2:0 hányadost, akkor definíció szerint ez is racionális szám kellene, hogy legyen, csak épp magát a számot nem tudjuk értelmezni (vagyis nincs olyan szám, amit ha megszoroznánk 0-val, akkor 2-t kapnánk eredményül, mivel 0*bármi=0, és nem 2), ezt az egy esetet kivesszük a pakliból.

"racionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként.

...

Egy kivétel azért akad; ha vesszük a 2:0 hányadost, akkor definíció szerint ez is racionális szám kellene, hogy legyen,"

Nem, ez nem kivétel. A definíció az, hogy minden racionális szám felírható. VISSZAFELÉ nem mond semmit az állítás.

Habár mindkét állítás igaz, az első diszjunkt unió, a második nem, hiszen az egész számok is racionális számok.

Mondhatnánk úgy is, hogy az egész számok, a törtek és az irracionális számok, de ez félreérthető, mivel lehet, hogy valaki a törteket a racionális számokkal azonosítja, és nem a nem egész racionális számokkal.