Analízis. Differenciálható-e az x0=2 helyen az alábbi függvény? F (x) = 2x^2 HA 0<=x<=2, illetve -4x+16 HA 2<x<=5? Jó a megoldásom?
Van egy(pontosabban 2) megoldásom, csak nem tudom jó-e, vagy melyik a jó.
Külön deriváltam a 2x^2-t amiből lett ugye 4x.
Majd külön a -4x+16-ot amiből lett -4.
A két deriváltba behelyettesítem a 2-őt és így az jön ki hogy 4*2=8 illetve a másik marad konstans -4. Mivel ez a 2 nem egyenlő ezért nem deriválható. Ez helyes?
Meg találtam egy határérték szerinti megfogalmazást is ahol ugyanez jött ki, de teljesen másképp ezért nem tudom hogy ez mindig így van-e vagy csak véletlen egybeesés(vagy jó-e egyáltalán).
Képeztem az (bal oldali határérték)
lim x->2-0 (f(x)-f(x0)) / (x-x0) határértéket ide behelyettesítve a 2x^2 függvény(mivel az "jön" bal oldalról), illetve ugyanebben a pontban a jobboldalit csak oda a -4x+16-ot behelyettesítve. Így balról 8 jobbról -4 lett tehát ugyanazok jöttek ki mintha csak simán behelyettesítettem volna a két külön deriváltba.
Jó a megoldásom? Ez a kettő egybeesik és ugyanazt csináltam kétszer csak különböző módszerekkel vagy teljesen véletlen hogy ezek jöttek ki? Pont ezen az órán volt helyettesítőtanárunk és nem teljesen értettem meg a differenciálás logikáját. :/
válasza:Egyrészt érdemes felrajzolni a függvényt, annál lehet látni, hogy „törik”.
Másrészt pedig, ugyanúgy van balról és jobbról differenciálhatóság, mint balról és jobbról vett határérték, és a két oldalinak meg kell egyeznie, hogy létezhessen. Ezzel számoltál, kijött, hogy nem egyeznek, szóval helyes.
válasza:A leghatározottabban nem!
A differenciálhatóság értelmezéséhez szükséges, hogy a függvény az adott pont környezetében folytonos legyen, ez pedig nemhogy nem folytonos, de nem is értelmezett.
Az első x0 jobboldali környezetében nem értelmezett, a második magában x0-ban se.
Létezik azonban a jobb/bal oldali differenciálhatóság, itt a követelményeknek csak a megfelelő oldali környezetében kell teljesülnie. Ezért az első függvénynek van baloldali deriváltja, a másodiknak nem lehet ott, ahol nem is értelmezett.
válasza:2. kommentelő:
Elnézést ha nem volt egyértelmű, de itt egy függvényről van szó nem két különbözőről, csak ki van kötve hogy milyen x-ekre milyen értékeket vesz fel. Nem tudom rá a szakszót de a lényeg hogy ez a 2 feltétel 1 darab függvény.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!