Tegyük fel, hogy egy valós függvény differenciálható egy pontban. Következik-e ebből, hogy abban létezik a függvénynek határértéke?

[link]

"Azt mondjuk, hogy f differenciálható az a pontban, ha létezik a[z a-beli] határérték és ez véges szám."

Hogyha differenciálható egy függvény egy adott pontban, akkor abban a pontban folytonos (ez fordítva nem feltétlenül igaz), és akkor és csak akkor folytonos, hogyha a függvénynek adott pontban van jobb és bal oldali véges határértéke, és azok megegyeznek, és ez definíció szerint a függvény adott pontbeli határértéke.

Szóval igen, hogyha valahol differenciálható a függvény, akkor ott muszáj határértékének is lennie.

Pedig ennyire egyszerű. A differenciálhatósághoz az kell, hogy legyen határértéke az adott pontban.

#4 : ez nem igaz:

"és akkor és csak akkor folytonos, hogyha a függvénynek adott pontban van jobb és bal oldali véges határértéke, és azok megegyeznek"

Erre ellenpélda az a függvény, ami mindenhol 1, kivéve a 0-ban, ahol mondjuk az értéke 0.

Ekkor 0-ban nem folytonos, holott a kétoldali határértékek léteznek és 1-el egyenlők.

Ha hozzáteszed azt, hogy "és azok megegyeznek a függvény adott pontban felvett értékével", akkor már jó. Előtte illik kikötni, hogy a függvény értelmezve van az adott pontban, a határérték létezéséhez ugyanis még ez sem kell.