Létezik olyan valósból valósba képező függvény, ami minden pontban differenciálható, de a deriváltja sehol sem folytonos?

A kérdés ellentmondásos, látszik, hogy a kérdező mennyire nem érti a deriválás lényegét és elméletét.

Érdekesebb lett volna az a felvetés, ha olyan függvényt kersne a kérdező, amely mindenhol folytonos, de sehol nem differenciálható. (Ilyen létezik, de a bizonyítás nehézkes)

Nincs. Ismert tétel, de nincs neve. Pl itt van rá egy bizonyítás:

[link]

Kicsit tömörebb bizonyítás:

[link]

Innét vannak linkek további érdekességekhez:

[link]

Ha nem szerettek kattintani:

Nézzük azt a függvényt, ami x^2*sin(1/x), ha x nem 0, és 0 különben. Világos, hogy ennek a deriváltja

2*x*sin(1/x) + x^2 * (–1)/x^2 * cos(1/x) = 2*x*sin(1/x) – cos(1/x),

ha x nem 0.

Ha x = 0, akkor a derivált a

lim( ((0 + h)^2*sin(1/(0 + h)) – 0)/h, h = 0) = lim(h*sin(1/h), h = 0)

határérték. Ugye mivel a sin(valami) legfeljebb 1, ezért |h*sin(1/h) – 0| < |h|, tehát ha adott egy tetszőleges e > 0 valós szám, akkor bármilyen |h| < H = e-re h*sin(1/h) közelebb lesz a 0-hoz e-nél. Így ez a határérték, tehát a derivált, létezik, és 0.

Így a derivált: 2*x*sin(1/x) – cos(1/x), ha x nem 0, és 0 különben. Viszont ez nem folytonos a 0-ban, mert nincs olyan f, hogy ahhoz a függvény minden eleme akár e = 0,9-nél közelebb legyen minden |x – 0| < H számra, a cos(1/x) minden értéket felvesz a [–1, 1] intervallumon akármilyen pici (–H, H) intervallumra.

A második linkem azt taglalja, hogy ebből a példából legyártható olyan függvény, ami deriválható, de a derivált végtelen sok pontban nem folytonos.

Ha kattintotok a kérdés első változatához vezető linkre:

[link]

> „The continuity set of a derivative on an open interval J is dense in J.” -->

--> „Azon pontok halmaza, amikben a derivált folytonos egy nyílt J intervallumon, sűrű J-ben.”

Tehát lesz végtelen sok pont, amiben a derivált folytonos, szóval NINCS olyan függvény, ami a kérdésben szerepel.

Aztán egy érdekesség, hogy azon pontok D halmaza is tud sűrű lenni, amikben a derivált NEM folytonos. De a többit nem fordítom le, mert úgy se hinnétek el.