Mondanátok példát olyan folytonos függvényre, amelynek az inverze nem folytonos?

f(x) =

x ha x<0

0 ha 0≤x≤1

x-1 ha x>1

Az elsővel csak az a gond, hogy nincs inverze, illetve az inverze nem egy függvény, hanem egy ponthalmaz (ami egyébként folytonos).

A probléma ott van, hogy egy függvény inverzét úgy kapjuk meg, hogy az x=y egyenesre tükrözzük tengelyesen, és a tengelyes tükrözésről tudjuk, hogy alakzattartó, tehát ahol folytonos volt, ott folytonos marad. Tehát nincs olyan folytonos függvény, hogy inverze ne lenne folytonos, legalábbis a teljes értelmezési tartományon.

Szerintem ez nem ilyen egyszerű.

Nincs meg a megoldás, de valamilyen Dirichlet-szerű kombinációval el tudom képzelni, hogy egyetlen pontban folytonos legyen, de az inverze nem.

Persze ez nem egy megrajzolható függvény.

Ha nincs ilyen, akkor kérek valakitől egy bizonyítást, konkrétan a folytonosság definíciójára alapozva.

Nem ilyen vélemény-szerű magyarázatot.

Ugye olyan függvény is van, ami minden irracionális pontban folytonos, és egy racionálisban sem.

Vagy olyan, ami egyetlen pontban folytonos, vagy olyan, ami egyetlen pontban differenciálható.

De van olyan, ami nem korlátos, a valós számok halmazán értelmezve van, mégis véges az integrálja.

Sorolhatnám az olyanokat, amik a szemléletnek ellentmondanak, mégis léteznek.

Tehát kérek egy BIZONYÍTÁST.

Köszi.

Nem tudja az antidiszkrét egészébe képezni, mert nem a halmaz hatványhalmazába képez, hanem magába a halmazba.

A nem folytonos azt jelentené, hogy van olyan nyílt halmaz, aminek az őse nem nyílt. Antidiszkrét topológián ilyen nincs.

A #2 megoldása nem csak lerajzolható függvényekre jó, bár alakzattartás helyett szerencsésebb lenne távolságtartásra hivatkozni. Emiatt a sorozatfolytonosságot minden pontban megőrzik az egybevágóságok, így a folytonosságot is, feltéve, hogy a kép is függvény. De ebben az esetben a függvénység nem okoz problémát, mert az eredeti függvényünknek van inverze.