Pontosan mi a feltétele annak, hogy egy sokszor differenciálható többdimenziós konvex függvénynek egyetlen globális maximuma legyen?

Az, hogy zárt legyen az értelmezési tartománya. Egy konvex függvénynek (a konstans függvény kivételével) maximuma csak a határpontjain lehet, tök mindegy hogy hány dimenziós és hányszor differenciálható.

Aztán hogy a határ hogy néz ki és azon 1, 2, 100 vagy végtelen ponton veszi fel a globális maximumát, arra már nincs általános recept.

Nem biztos hogy látom a csapdát, de leírom a gondolatmenetem.

1. Nem érdekelnek azok az esetek, amikor az értelmezési tartomány határai miatt létezik minimum.

2. Ha belső pontjában van lokális minimuma, az egyben globális is, ami a konvexitásból adódik.

3. 0, vagy 1, vagy végtelen sok minimuma lehet, ami szintén a konvexitásból adódik: két különböző minimumot összekötő szakasz csakis konstans lehet, végtelen sok további minimummal.

4. Ha létezik olyan pont, ahol a gradiens 0, és a Hesse-mátrix pozitív definit, akkor ott a minimum, és szükségszerűen ez az egyetlen.

5. Ha az előző pont nem teljesül, de létezik olyan pont, ahol a gradiens 0 és a Hesse-mátrix pozitív szemidefinit, akkor végtelen sok minimum van. A Hesse-mátrix sajátvektoraira merőleges irány(ok) jelölik ki a minimum völgyét.

6. Egyéb esetben nincs minimuma belső pontban.

Ha ezzel nem vagy elégedett, hiányosnak tartod, akkor írd le légyszíves, hogy mi a pontos dilemmád, ne nekünk kelljen találgatni.