Mennyi az a=7* (8+8^2+8^3+⋯+8^2018) +8 szám utolsó számjegye?

Akkor vastagodtak a reményeim, hogy nem baltáztam el.

A saját véleményemmel szemben is mindig szkeptikus vagyok. :)

"Bár a kérdező nem kért levezetést csak választ"

Igaz, de:

Egy ember az utcán sétálva megkérdez egy másik embert:

- Bocsánat, uram! Tudja, mennyi az idő?

Az ránéz az órájára, válaszol: - Igen, tudom.

És továbbmegy.

:D

Ilyet én is ismerek :D

-Elnézést, a vasútállomást keresem.

-Semmi gond, nyugodtan keresse tovább!

A feladatról;

Nem tudom, hogy direkt nem írtátok-e, de a mértani sorozat összegképletével szépen kijön; a zárójelben lévő összeg nagysága (8*(8^2018)-1)/(8-1) = (8^2019-8)/7, tehát:

7*[(8^2019)-8)/7]+8 = 8^2019-8+8 = 8^2019, ennek pedig már nem nagy varázslat megtudni az utolsó számjegyét.

"a mértani sorozat összegképletével szépen kijön; a zárójelben lévő összeg nagysága (8*(8^2018)-1)/(8-1) = (8^2019-8)/7"

Próbáltam a 2019. hatvánnyal behelyettesítést bevetni, csak elvetettem, mert a számológépem képtelen volt kiírni a 2019. 8-hatvány végződését. :D

> „…csak elvetettem, mert a számológépem képtelen volt kiírni a 2019. 8-hatvány végződését.”

Pedig a modulóhatványozás egyszerű:

8^1 ≡ 8 (mod 10),

8^2 ≡ 8*8 = 64 ≡ 4 (mod 10),

8^4 ≡ 8^2*8^2 ≡ 4*4 ≡ 6 (mod 10),

8^8 = 8^4*8^4 ≡ 6*6 ≡ 6 (mod 10)

és innét kezdve 8 minden 2-hatványadik hatványa 6 maradékot kell adjon 10-zel osztva.

2019_10 = 111 1110 0011_2, ezért

8^2019 = 8^1024 * 8^512 * 8^256 * 8^128 * 8^64 * 8^32 * 8^2 * 8^1.

Ebben szorzatban az 5.-nél magasabb hatványok mind 6 maradékot adnak 10-zel osztva, így a szorzatuk is, tehát

8^2019 ≡ 6 * 8^2 * 8^1 ≡ 6*4*8 ≡ 2 (mod 10).