Mennyi az alábbi nagy számok számjegyeinek száma, első és utolsó számjegye?

2^53 azért elég nagy szám ( 9007199254740992 ), szóval itt a 19 számjegyig pontos számológép is kevés lesz, ha első és utolsó számjegyek is kellenek.

a)

Az utolsó számjegy 6. Ha felírod 2 hatványait, akkor rendre 2,4,8,6 -ra végződnek. A 4-el osztható alapok esetén az eredmény mindig 6-ra végződik. (2^4=16, 2^8=256, 2^12= 4096, stb…). Mivel a 2^53 osztható kettővel, így az utolsó számjegy 6 lesz.

Az első számjegyre nincs tippem.

A számjegyek száma. Ugye ha n egy 2-es számrendszerben felírt szám, akkor log(n) számjegy kell 10-es alapú leíráshoz, és log[2](n) számjegy kell kettes számrendszerben való felíráshoz. Tehát a kettes számrendszer számjegyeit meg kell szorozni log(2)-vel. log[2](2^(2^53)) = 2^53, tehát tizes számrendszerben ehhez 2^53*log(2) = 271 1437 152 599 295,4. Tehát 2^(2^53) tízes számrendszerben 271 1437 152 599 296 számjeggyel írható le.

b)

(2^53)! osztható 10-el, hiszen:

(2^53)! = 1*2*3*4*5*6*7*8* … *(2^53-1)*(2^53) = 10 * 1*3*4*6*7*8* … *(2^53-1)*(2^53)

Az első számjegyre itt sincs tippem.

A számjegyek számára sincs tippem, bár van egy olyan sejtésem, hogy erre létezik valamiféle közelítő képlet.

c)

A Fibonacci számoknak egy adott számmal osztás maradéka ugye ad egy számsort. Ez a számsor ismétlődő. 10-el való osztásnál a maradék (tehát a Fibonacci szám utolsó számjegye) sor 60 elemenként ismétlődik. Tehát Ha F(n) maradéka x, akkor F(n mod 60) maradéka is x. Ebből adódóan F(2^53) mod 10 = F(2^53 mod 60) mod 10. 2^53 mod 60 = 32, tehát: F(2^53) mod 10 = F(32) mod 10. A 32. Fibonacci szám: 2178309, így F(2^53) mod 10 = 2178309 mod 10 = 9.

Tehát a 2^53. Fibonacci szám utolsó számjegye 9-es.

Az első számjegyre itt sincs tippem.

A számjegyek száma… Na ez keményebb téma.

A Binet formula 10-es alapú logaritmusát kellene ehhez kiszámolni. Esetleg van egy ilyen formula is: F(10^n) számjegyeinek száma annyi, mint az 1/(arcsh(2) * log(10)) tizedestört alakjának első n számjegye, de ez csak erősen durva saccolás lenne.

- - - - - - -

Tehát az utolsó számjegyek mindhárom esetben megvannak. A számjegyek száma szerintem kezelhető (a-nál megvan, b-nél én nem tudok rá képletet, de sejtésem szerint létezik ilyen képlet, c esetén elvileg számolható lehetne, de ennek én nem állnék neki). Az első számjegyre viszont nincs tippem sehol sem.

A pontos kiszámolás vezethetne tényleges eredményre, de ezek akkora számok, amelyekkel nem hogy egy Windows számológép, de egy nagy számokat kezelő szoftveres algoritmuscsomag is kevés lehet.

#5> :-)

Nemrég láttam egy videót, ami ezt a kérdést taglalta, bár konkrét bizonyítások nélkül. Mutatott is egy összefüggést. Két Fibonacci szám F[n] és F[m] akkor és csak akkor osztható egymással maradék nélkül, ha n és m osztható maradék nélkül. Ez azt jelenti, hogy mondjuk ha egy Fibonacci számsor 13-el képzett maradékát, mint sorozatot nézed, akkor minden hetedik maradék nulla lesz. Ebből óhatatlanul adódik, hogy ismétlődés van a sorozatban.

Mert ugye ha a Fibonacci számokat osztom és a maradékot veszem, akkor mi is történik? F[n] mod x = (F[n-2]+F[n-1]) mod x = [(F[n-2] mod x) + (F[n-1] mod x)] mod x. Magyarán a maradékok is ugyanúgy Fibonacci számsort adnak, csak ha x-nél nagyobbak, vagy egyenlőek, akkor vesszük az x-el osztás utáni maradékukat.

M[n] = F[n] mod x

M[n] = (M[n-2] + M[n-1]) mod x

Ha x>1, akkor ezt el lehet ugye játszani. Viszont ha x>1, akkor M[1] = F[1] mod x = 1 mod x = 1, valamint M[2] = F[2] mod x = 1 mod x = 1. Tehát ha a maradék sor két egymást követő eleme 1-es, akkor onnan ismétlődik a maradék sor is.

Szerintem innen már érthető a dolog. Ugyan a 10 nem Fibonacci szám, de itt is megvan az ismétlődés. Hogy a 60 hogyan jön ki, van-e erre valamiféle képlet, azt nem tudom, de jelen esetben én annyit csináltam, hogy excelben szépen kiszámoltam az első 60+n Fibonacci számot, és megnéztem az utolsó számjegyüket, azaz a 10-el osztás utáni maradékukat. Az "1,1" eset a 60. lépésnél következett be, innen már ismétlődnie kell.

Bocs, ha kissé keszekuszán fogalmaztam meg, de kissé esete van már. Ja a videó: http://www.youtube.com/watch?v=Nu-lW-Ifyec