Mi értelme van a végtelen fogalmának?

#9: Pont ez az, ami határérték nélkül problémás. A távolság Akhilleusz és a teknős között végtelenül kicsi lesz.

Igen, csak van itt egy kis turpisság. Tegyük fel, hogy Akhilleusz 2 m/s sebességgel halad, a teknős meg 1 m/s sebességgel, és 1 méterre vannak egymástól.

Első lépésben Akhilleusz 2 métert tesz meg, de közben a teknős arrébb megy 1 métert.

A második lépésben Akhilleusz 1 métert tesz meg, de közben a teknős arrébb megy 1/2 métert.

A harmadik lépésben Akhilleusz 1/2 métert tesz meg, de közben a teknős arrébb megy 1/4 métert.

Ez így valóban egy végtelen összeg:

Akhilleusz által megtett út:

s[Akhilleusz] = Σ{n=1→∞} 2/n = 4 m

A teknős által megtett út:

s[teknős] = Σ{n=1→∞} 1/n = 2 m

~ ~ ~

A csavar a dologban ott van, hogy nem csak a távot felezgetve fogunk egy vételen sort kapni, hanem közben az időt is felezzük, hiszen az első lépésben 1 másodperc telik el, a másodikban 1/2, a harmadikban 1/4 stb. Tehát ha az időt nézzük, ami alatt ez a végtelen történet lezajlik:

t = Σ{n=1→∞} 1/n = 2 s

Akhilleusz azért csak végtelenül kis mértékben tudja megközelíteni a teknőst és lehagyni nem, mert az idő, amit vizsgálunk, 2 másodpercnél végtelenül kisebb időtartam és nem több. De ha a határértékeket használjuk, akkor szépen kijön, hogy a sebesség stimmel, az út stimmel, az idő stimmel azzal összevetve, ami felosztogatás nélkül történik.

A fizikai mennyiségek mérőszámai többnyire valós számok, azaz végtelen sok értéket vehetnek fel. Például egy időintervallumban végtelen sok időpont van, egy anyagi pont tömege végtelen sok féle lehet, stb.

Illetve, ahogy már írták, a geometriai tér végtelen sok (matematikai) pontot tartalmaz. Amit te az univerzum nagyságának hívsz, az a térfogata, és ez valóban lehet véges, azonban a tér bármilyen kicsi összefüggő része matematikai méretét (számosságát) tekintve végtelen.

#13-#14 A gondolataid nem rosszak, de ki kell ábrándítsalak.

A valóság hogy pontosan mi, azt sosem fogjuk megtudni. A fizikában, a mérnöki tudományokban, stb. mindig csak egy-egy absztrahálás utáni modellt tudunk vizsgálni.

Az esetek nagy részében valamennyi vizsgált mennyiségről (pl. idő, energia, stb.) folytonosságot tételezünk fel.

Amikor pl. Einstein jött annak idején avval, hogy az energia nem folytonos, hanem kvantumos, ez annak idején mintegy istenkáromlásként hatott.

Az addigi kutatók szenttül hittek az energia folytonosságában.

Aki konyít egy picit is a differenciálszámításhoz, az tudja, hogy folytonos függvényekkel dolgozik az ember.

Persze aztán később jött a magyarázat: Az energia a valóságban folytonos, a kvantumokban való továbbterjedés feltételezése csak egy munkaeszköz. Régen legalább is ez volt a szemléletmód.

Tehát azt kell látni, hogy mindig csak a valóságnak egy lehetséges modelljét tudjuk vizsgálni.

Ha mindent figyelembe vennénk, akkor olyan bonyolult egyenletek jönnének ki, amelyeknek a megoldása még a mai számítógépek fejlettségi szintjén is több évszázad vagy évezred lenne.

Ennek viszont nincs értelme.

Ostoba idióták miért járnak ezen a lapon is, akik lepontoznak mindent, különösen a #15 választ?!

A fene essen bele az ilyen tudatlan sötét barmokba!

A kérdésed az volt, hogy mi értelme van, és nem az, hogy valójában létezik-e. Ha a számításokat könnyíti, akkor ez máris egy értelme a fogalomnak, még akkor is, ha valójában semmi nem végtelen (tehát máris választ kaptál).

Márpedig pl. valami töltésének egy függvényét jóval egyszerűbb mindenhol értelmezett függvényként megadni, mint az elemi töltés többszöröseire egyesével.

#14: „Rendben használjuk, de mint absztrakció.

Egy 4584354357834985 szögü szabályos sokszöget közelíthetünk körrel. Miért kéne oo sokszögről beszélni hogy ténylegesen kört kapjunk?

MAtematikailag megtehetjük (és meg is tesszük)”

Megtehetnénk, de nem tesszük.

Amúgy ezzel a #14-gyel válaszoltál a kérdésedre, vagy van még valami?