Egy axióma kimondja, hogy az egész mindig nagyobb mint a rész . De hogyan érvényesül ez a számoknál?

Kissé keversz dolgokat. Szépen rámutattál, hogy ez miért nem teljesül, a magyarázatodban. A halmazoknál B részhalmaza A-nak, ha B minden eleme eleme A-nak is. Valódi részhalmaza, ha A\B nem üres. Viszont amire E. is hivatkozik az axiómáiban, az nem ez. E tkp. azt mondja ki, hogy egy halmaz részhalmazainak _mértéke_ nem lehet nagyobb, mint a halmazé. Ennek viszont nem mond ellent, amit írtál, és ezt is magyarázgatod. Sőt, valójában ez a végtelenség _definíciója_: ha egy halmaznak van vele ekvivalens valódi részhalmaza, akkor azt a halmazt végtelennek nevezzük. Pl. a természetes számoknak valódi részhalmaza a páros számok halmaza, de kölcsönösen egyértelmű leképezést tudunk megvalósítani az x\mapsto2x függvénnyel - tehát a természetes számok halmaza végtelen. (Ráadásul a legkisebb végtelen.)

Igen. Úgy általában nagyon bugyután fogalmaztam, szerintem ráállok arra, hogy este nem írok nyilvánosságnak semmit. :D

@23: Nincs gond, néha az ember bugyután fogalmaz. Ez a jobb, mert így folyamatosan lehet fejlődni. Ha csak tökéletesen fogalmaznál, nem tudnád, mi megy rosszul, és nem tudnál előrelépni.