Egy axióma kimondja, hogy az egész mindig nagyobb mint a rész . De hogyan érvényesül ez a számoknál?

[link]

Számosságok esetén a kisebbegyenlőség _definíciója_ az, hogy A számossága kisebbegyenlő B szánosságánál, ha A injektíven B-be képezhető. (Ez definíció és nem axióma vagy ilyesmi)

Az pedig egy egyszerű állítás (tétel), hogy egy részhalmaz számossága mindig kisebbegyenlő mint a tartalmazó halmazé.

1. Fontos érteni, mit jelent az "egész" és a"rész". Nem értésük sok zavart tud okozni.

2. Egyéb ismeretek is nélkülözhetetlenek. A kérdező példájához például a végtelen fogalma.

A halmazoknál a "kisebb" azt jelenti, hogy abból mindegyik elem benne van a "nagyobb"-ban, de ezen kívül ott van olyan is, ami a másikban nincs.

Párosítsd össze. Az egész számok között megtalálsz minden páratlan számot. De a "2" számot mondjuk, csak az "összes számok" halmazában találod meg, a "páratlan számok" halmazában nem. Az tehát kisebb, hiszen ott a "2" nem fordul elő.

Baluba, egyetlen halmazelméleti axiómarendszernek sem axiómája ez az állítás. A kérdés többi része nem "nem igazán értelmezhető" (ez külön vicces tőled annak a fényében, hogy rögtön utána javaslod, hogy értelmezze), hanem nem értelmes.

#4, kevered az axiómát a dogmával. Ne válaszolgass a tudomány rovatban, menj át a vallásba vagy az ezotériába.

Szia, ezotériába nem megyek, a vallásban pedig szoktam lenni.

Az axiómákat ugyanúgy bizonyítás nélkül fogadjuk el, mint a vallási dogmákat. Viszont a matematikában általában nem használnak a szokásostól eltérő axiómákat. Kijelenthettem volna, hogy amellett, hogy fel lehet venni ilyen axiómát, ez nem része a szokásos axiómarendszernek. Persze attól még nem biztos, hogy az így kapott rendszerben nem keletkeznek ellentmondások, úgyhogy nem is csoda, ha ellentmondásra jutsz egy ilyen axióma hozzávételével.

A vallásban pedig nem kell logikát keresni.

Jééézusom, micsoda olvasatlan bagázs van itt -.-" :O

Kérem tisztelettel, tessenek Eukleidészt olvasni, az első oldalakon találják ezt az elemekben.

Nos, akkor először kezdeném azzal, hogy ez egy elavult axióma. 1899-ben David Hilbert az euklideszi geometria axiomatizálására javasolt egy axiómarendszert, amelyet apróbb korrigálások után ma az euklideszi eukleidészi axiómáknak tekinthetjük.

No. Eukleidésznek volt egy olyan műve, hogy Elemek, amely az akkori kultúra geometriai és számelméleti tudását gyűjtötte össze, teszem hozzá, maga Euklidész is sok dolgot maga bizonyított benne.

[link]

Ebben a Posztulátumok között, az Axiómák között a nyolcadik az, amiről te beszélsz.

Mármost ha nézed ezt az I. könyvet, láthatod, hogy felhasználja az I.6. tétel bizonyításához, ami nagyon csúnyán fogalmazva azt az alapvető tényt fogalmazza meg, hogy "háromszögbe' nagyobb ódallal szembe' nagyobb szög van".

Ez azt fejezi ki, ha hogy ha van egy véges 'objektumod', akkor maga az az objektum nagyobb a részénél.

Tehát ez ennyi.

Amiről te beszélsz, az számosságaritmetika.

Ugye először, mi is az a végtelen számosság. Nagyon felületesen... Vannak véges halmazok, amiket úgy lehet jellemezni, hogy össze lehet őket kötni egyenként a természetes számokkal. Ez az 1. elem, amaz a 2. elem és így tovább valamelyik véges számig. Ezt úgy mondjuk, hogy véges egy halmaz akkor, ha ekvivalens a természetes számok egy {1,2,...,n} részhalmazával.

A végtelen halmazok pedig azok a (nemüres) halmazok, melyek nem végesek, magyarul nincs olyan {1,2,...n} halmaz, mellyel ekvivalens lenne.

És akkor itt jön az a dolog, hogy számosság. Suliban azt tanuljuk, hogy az elemek száma. Hát oké, mondd meg mennyi az a végtelen. xD

Így végülis beveztünk egy olyan fogalmat, hogy operáció.

Az operáció gyakorlati szempontból függvény, az elv különbözteti meg tőle, ez ugyanis értelmezve van minden halmazon, amiről viszont Bertrand Russel talán 1906-ban megmutatta, hogy ellentmondás (Bertrand-féle antinómia), mégis szükségesek.

Tehát az operáció mindenre értelmezve van, annak egy halmazra való leszűkítése már függvény.

A többibe már nem megyek bele, a lényeg, hogy ilyen tolvajnyelven első megközelítésben azt mondjuk, hogy a számosság egy ekvivalenciarációval kompatibilis operáció. Másik megközelítésben, végre teljes precizitással azt, hogy egy A halmaz számosságán a legkisebb A-val ekvivalens rendszámot értjük.

No... Ellentétben a többiek viaskodásával én igenis biztatlak arra, hogy tegyél fel ilyen kérdéseket. A matematizálás a kérdésfeltevésről szól. Meg persze azok megválaszolásáról. De önmagában az, hogy felmerül benned egy ilyen dolog, én emelem előtted a kalapom.

17/f