Hányféleképpen lehet felírni két egész reciprokának összegeként?

N = 180180

1/N = 1/a + 1/b

Egyértelmű, hogy a=b=2N az egyik megoldás. Milyen a>2N megoldások vannak? (Ekkor lesz a>b, vezesd le.)

N = ab/(a+b)

b(a - N) = a·N

b = a·N/(a-N)

(a - N) osztója kell legyen (a·N)-nek.

a > 2N, vagyis a-N > N, ezért lehet olyan prímtényezője, ami N-nel, és tuti lesz olyan, ami a-val egyszerűsödik.

Ha a = k·N (k > 2), akkor a-N = (k-1)·N, vagyis b = a/(k-1) = k·N / (k-1)

Ilyenből annyi lehet, ahány osztója van N-nek az 1-en kívül, hisz k nem osztható (k-1)-gyel (mivel k>2).

Volt még az a=b=2N megoldás is, tehát eddig a megoldások száma megegyezik N összes osztójának a számával.

Már csak be kellene látni, hogy a=kN-en kívül nincs több megoldás, vagy ha van, azokra is kitalálni valamit ;)

Megvan! Fordítva kellett volna csinálnom:

N < b ≤ 2N

a = b·N / (b-N)

Legyen b = N+d, 1 ≤ d ≤ N

a = (N+d)N/d = N²/d + N

Innen már egyértelmű, hogy N² osztói közül jönnek d értékei. Persze csak az N-nél nem nagyobb osztók.

Ha N²-nek osztója d, akkor ennek párja az N²/d értékű másik osztó. Vagyis N-ig az összes osztó fele van (felfelé kerekítve, hisz négyzetszámnak páratlan osztója van, és a pár nélküli N is jó nekünk).

N² osztóinak száma 5²·3⁴ = 2025, vagyis 1013 megoldás van.