Mi az utolsó két számjegye az 1*3*5*7*9*11*13*15*17*19 szorzatnak? Sok féleképpen neki kezdtem, az evidens az utolsó 5, de az utolsó előttit hogy mindom meg?

Az oké ha egy válaszon sokat gondolkodik az ember.

Mert akkor ugye már tudjuk mi a kérdés.

Na de ez!

Ne haragudj!Pedig próbálkoztam!

Én itt nem csak a prímeket, hanem minden számot ilyen alakban gondoltam felírni.

Az 5-ös tényezőket hozzuk előre, a fenti szorzat így:

5*(3*5)*1*3*7*9*11*13*17*19 = 25 * (3*1*3*7*9*11*13*17*19)

lesz. A 25 többszöröseinek utolsó 2 számjegye 4-es periódusokban ismétlődik (ugye 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200,…), ezért érdemes a második tényező 4-es maradékát vizsgálni.

3*1*3*7*9*11*13*17*19 = (1*4 – 1)*(0*4 + 1)*(1*4 – 1)*(2*4 – 1)*…*(5*4 – 1).

Na most ha kibontjuk a zárójeleket, akkor minden tagban szerepelni fog legalább egy 4-es tényező, kivéve abban, ami csak az összegek második tagjainak szorzatát tartalmazza. A 4-es tényezőt tartalmazó tagok szorzata osztható lesz 4-gyel, így az nem mond semmit a 4-es maradékról, nem változtat rajta, tehát csak egyetlen tag 4-es maradékát kell vizsgálnunk, ez pedig a

(–1)*1*(–1)*(–1)*1*(–1)*1*1*(–1) = (–1)^5 = –1,

tehát ez a szorzat (4*k – 1) vagy (4*n + 3) alakú (itt most n = k – 1).

Így a kérdésben szereplő szorzat

25*(4*n + 3) = 100*n + 75

alakban írható, tehát 75-re végződik.

(Természetesen n alatt mindig egész számot értek ebben és az előző hozzászólásomban.)