Egy falu lakói közül négyet kiválasztani több mint 1 billió féleképpen lehet. Ha eggyel kevesebben lennének, már kevesebb mint 1 billió féleképpen lehetne. Hányan laknak a faluban?

Tegyük fel, hogy a faluban n ember lakik, így közülük (n alatt a 4)=n!/(4!*(n-4)!)

Ezt tudjuk egyszerűsíteni: n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*...*3*2*1=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)! (definíció szerint), tehát a tört értéke (n*(n-1)*(n-2)*(n-3))/(4*3*2*1)=4*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)/24. AZt szeretnénk, hogyha ez 1 billiónál=1.000.000.000.000-nál nagyobb lenne, vagyis:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24>1.000.000.000.000 /*24

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)>24.000.000.000.000

Ezzel azt kaptuk, hogy 4 egymst követő szám szorzata nagyobb, mint 24 billió.

Becslésként egyenlítsük ki a szorzat tagjait kétféleképpen; az első esetben mindegyik tag legyen a legnagyobb szám, ekkor

n*n*n*n>24.000.000.000.000

n^4>24.000.000.000.000 /4. gyökvonás

n>2.213,4 ez egy alsó becslése a keresett számnak (mivel minden tagot növeltünk).

A második esetben mindegyik szám legyen a legkisebb, ekkor fordul a reláció (biztos, hogy kisebb lesz 24 billiónál a szorzat):

(n-3)^4<24.000.000.000.000 /negyedik gyök

n-3<2.213,4 /+3

n<2.216,4

Így ez a felső becslésünk tehát:

2.214<=n<=2.216

Ezzel 3 számot kaptunk, ami megoldás lehet, már csak számolnunk kell:

n=2.214: 2.214*2.213*2.212*2.211=23.962.542.474.024, ez nem a keresett szám.

n=2.215: 24.005.893.975.560, ez lesz a jó nekünk. De azért ellenőrizzünk:

(2.215 alatt a 4)=2.215!/(4!*2.211!)=2.215*2.214*2.213*2.212/24=

=1.000.245.582.315, ez több, mint 1 billió.

Ha 1-gyel kisebbet veszünk:

(2.214 alatt a 4)=2.214!/(4!*2.210!)=2.214*2.213*2.212*2.211/24=

998.439.269.751, ez kisebb, mint 1 billió.

Tehát a falu lélekszáma 2.215 fő.

Tehát a falu lélekszáma 2.216 fő.