Hány féleképpen írhatjuk le a MATEMATIKA szó betűit egymás mellé?

Milyen szempontból egyszerűbb?

10 betűt összesen 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1-féle sorrendben tudunk leírni. Viszont a „MATEMATIKA” szóban 2 darab M betű szerepel, ezek sorrendje 2*1-féle lehet, tehát a 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1-et el kell osztani 2*1-gyel, mivel ha az M betűk ugyanazon a két helyen vannak, azt mindig kétszer számoltuk. Hasonlóan osztani kell 3*2*1-gyel, mert három darab A betűnk van, 2*1-gyel, mert két darab T-nk, 1-gyel, mert egy darab E-nk van, még egyszer 1-gyel, mert egy darab I-nk is van; és még egyszer 1-gyel, mert egy darab K is szerepel. Tehát a végeredmény

10*9*8*7*6*5*4*3*2*1/(2*1)/(3*2*1)/(2*1)/1/1/1 = 10*9*8*7*6*5*4*3*2/(2*3*2*2) = 10*9*8*7*6*5*4*3*2/(3*8) = 10*3*7*6*5*4*3*2 = 10*3*7*6*5*4*6 = 10*3*7*6*5*24 = 10*3*7*6*120 = 10*3*7*720 = 10*3*5040 = 10*15120 = 151 200.

Ebben a megoldásban nem használom a faktoriális jelölést, tehát egyszerűbb.

Jaj már… Igazán gondolhatnál valamire… Például hogy 1! = 1, és az egyes tényezőket nyugodtan el lehet hagyni, így az egyszerűsített megoldás: 10!/(3!*2!*2!).

Azért írtam le első körben az 1-eseket is, hogy ellenőrizni tudjam, végigmentem minden betűjén a szónak, nem felejtettem ki semmit és jól számoltam meg őket. E felől az nyugtatott meg valamelyest az első válasz írása közben – mivel már álmoskás vagyok –, hogy 2 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.

A képlet úgy is van definiálva :D

n darab betűt n!/(n(1)!*n(2)!*...*n(k)!)-féleképpen lehet egymás mellé leírni, ahol n(1), n(2), ... n(k) azt jelöli, hogy az azonos betűkből hány darab van, és n(1)+n(2)+...+n(k)=n.

Persze ha nagyon precízek akarunk lenni, akkor úgy kellene felírni, hogy

10!/(3!*2!*2!*1!*1!*1!*0!*0!*0!*...*0!), mivel 0 darab B betű, 0 darab C betű, ..., 0 darab Z betű van, és akkor még csak a latin betűket vettük számba, és mivel 0!=1, ezért ezek is elhagyhatók, mint szorzótényezők, tehát nem is baj, hogy csak a latin betűkkel foglalkoztunk.

Értem én, hogy hálás vagy, de érted is, amit leírtunk?

Például most már meg tudnád mondani, hogy hányféleképpen írhatjuk a KÖKÖRCsIN szó betűit egymás mellé?