Bizonyítható a bizonyíthatatlanság?

Azon gondolkoztam, hogy vannak olyan matematikai/logikai sejtések amiket máig nem tudtak bizonyítani a matematikusok Pl. a Goldbach sejtés. Bármilyen esetet is vizsgálunk a kikötéseknek eleget téve a G.s. mindig bebizonyosodik, de attól még nem bizonyítódik. Egyszerű és egyértelműnek tűnik, de mégsem tudják bizonyítani.

Ha valamit nem tudtak még bizonyítani akkor az nem jelenti azt, hogy bizonyíthatatlan. Én úgy gondolom/sejtem, hogy ha valamit nem tudnak bizonyítani akkor a bizonyíthatatlanságát sem fogják tudni.

Tehát ha valami bizonyíthatatlan akkor annak a bizonyíthatatlanságát be lehet bizonyítani.Szóval, ha a kérdést pontosítjuk: Létezhet bizonyíthatatlan tény?

Sajnos az interneten nem találtam semmit ezzel kapcsolatban, de ha valakinek van bármilyen új gondolata, sejtése, problémája esetleg megoldása/példája és le is írja annak nagyon örülnék.