Bizonyítható-e az a+b (u+v) +c (uv) (a, b, c, u, v eleme R) művelet asszociativitásának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a*c=b (b-1)?

Jelöljük ezt a műveletet M-mel, tehát

uMv = a + b*(u + v) + c*(u*v),

ahol a * a szokásos valós szorzás, és a + a szokásos valós összeadás, ha jól értem, amit leírtál. Jól értem?

A művelet akkor és csak akkor asszociatív, ha

(uMv)Mw = (a + b*(u + v) + c*(u*v))Mw = a + b*(a + b*(u + v) + c*(u*v) + w) + c*(a + b*(u + v) + c*(u*v))*w

és

uM(vMw) = uM(a + b*(v + w) + c*(v*w)) = a + b*(u + a + b*(v + w) + c*(v*w)) + c*u*(a + b*(v + w) + c*(v*w))

egyenlők.

Írni kell közéjük egy egyenlőségjelet, fel kell bontani a zárójeleket, össze kell vonni, amit össze lehet, és ha a végén csak az marad, hogy a*c = b*(b – 1), akkor az bizonyítást nyert a kérdésben szereplő állítás, ha olyan jön ki, ami nem ekvivalens ezzel, akkor pedig meg lett cáfolva.

Így a kérdésedre az a válasz, hogy eldönthető, hogy ez-e az asszociativitás szükséges és elégséges feltétele.

És Wolframalphába bekopipésztelve kijön, hogy bizonyítható:

[link]