Bizonyítsuk be, hogy ha abc háromjegyű szám osztható 37-tel, akkor bca is osztható 37-tel?

Igen, jó.

És ha összeadjuk a hármat, akkor akkor 111*(a+b+c) -t kapunk, vagyis 3*37*(a+b+c) -t.

Én azon gondolkodom, hogy ez elegendő-e a bizonyításhoz. Elvileg van három számunk, az egyik osztható 37-el, a másik kettő meg lehet, hogy nem, de a három szám együtt ettől még lehet osztható 37-el. Persze nem a fenti algoritmus alapján, de legyen három számunk, az egyik 111. Ez osztható 37-el. Meg legyen két másik számunk 110 és 112. Az összeg – 111 + 110 + 112 – is osztható 3*37-el, ettől még 110 és 112 nem.

Valami még mintha hiányozna a bizonyításhoz. De most hirtelen nincs ötletem.

Ha nagyon nincs ötletünk, akkor bizonyíthatjuk úgy is, hogy felírjuk az összes 37-tel osztható 3-jegyű számot (nincs belőlük túl sok), és akkor látjuk, hogy igaz (persze kikötést kell tennünk, hogy sem a, sem b nem 0). Persze ez nem egy elegáns bizonyítási módszer, ettől függetlenül célravezető.

Mást hirtelen én sem látok.

A megoldás azon alapul, hogy 37*3=111.

(Használjuk a | jelet az oszthatóságra...)

ha 37|abc, az annyit tesz, hogy 37|100a+10b+c

most ha a számot 10-zel szorozzuk, akkor nem változik az oszthatóság ténye:

37|1000a+100b+10c

viszont ekkor

1000a+100b+10c=999a+100b+10c+a

vagyis 37|999a+bca

no de 999=9*111, emiatt ez osztható 37-tel

így az összeg másik tagja is osztható 37-tel, azaz

37|bca

kész

@Parafagólem:

Ohh… szép… szép…. Valahogy ilyen jellegű megoldás nekem nem jutott eszembe.

Ó, köszönöm :)

Ajándékokat, csokit, virágot sem utasítok vissza...