Miért van az, hogy ha egy 2 vagy több jegyű szám számjegyeinek összegét levonjuk, az eredmény osztható 9-cel? Bizonyítás?

Ez 1-jegyű számokra is igaz, amúgy…

Azt tanultad, hogy egy szám annyi maradékot ad 9-cel osztva, amennyi a számjegyeinek összege? Mert akkor ennek a bizonyítását meg tudod nézni a füzetedben, és felhasználhatjuk a továbbiakban.

Ha a szám x maradékot ad 9-cel osztva, akkor 9*n + x alakú, ahol n egész. A fenti állítás miatt a számjegyeinek összege felírható 9*k + x alakban, ahol k egész, mert az is x maradékot ad 9-cel osztva. A kettő különbsége (9*n + x) – (9*k + x) = 9*n + x – 9*k – x = 9*n – 9*k + x – x = 9*(n – k). Két egész szám különbsége is egész szám, tehát a kérdéses különbség 9*m alakú, ahol m egész szám, így osztható 9-cel.

> „Ezt légyszíves fejtsd ki bővebben :)”

Jogos. A kérdező úgy értette, legalábbis remélem, hogy:

„Miért van az, hogy ha egy többjegyű számból kivonjuk a számjegyeinek összegét, akkor az eredmény osztható lesz 9-cel?”

Veled ellentétben én úgy értem, ahogy leírtam.

Vegyük például a 7-et.

A 7 számjegyeinek összege 7.

7 – 7 = 0, a 0 pedig osztható 9-cel.

Legyen a szám AB leírva. Ekkor a szám értéke 10A+B

(A es B tehat a szamjegyek)

Ebbol kivonjuk a szamjegyek osszeget

10A+B-(A+B)=10A+B-A-B=9A

Mivel a egesz szam, ezert 9A nyilvan oszthato kilenccel

Ugyanúgy helyes a gondolatmenet, nézzük meg 4 jegyűre:

X = 1000A + 100B + 10C + D

Számejgyek összege: A + B + C + D

Keresett különbség:

1000A + 100B + 10C + D - (A + B + C + D) = 1000A - A + 100B - B + 10C - C + D - D = 999A + 99B + 9C + 0, amit ha elosztasz kilenccel A + B + C jön ki, ami értelemszerűen egész. Tizenhétjegyűre ugyanezt játszod el, csak 17-szer.