Hogy tudnám rábírni a szaktársamat, hogy belássa ezt matematikailag, és ne legyen hülyeség neki? [lényeges lenne, mert nagyon idétlenül hat]

Megjegyzendő, hogy kétféle művelet létezik, van az osztás és a bennfoglalás. Az osztás esetén a 8/2 azt fejezi ki, hogy ha van 8 almád, és azt 2 egyenlő részre osztod, akkor az egy kérsz 4 almát fog tartalmazni, tehát:

8 darab / 2 rész = 4 darab

Van viszont a bennfoglalás. Itt a 8:2 azt fejezi ki, hogy ha van 8 almád, azt kettes csoportokba szedve összesen hány csoport alkotható, tehát:

8 darab : 2 darab = 4 csoport

Tehát röviden:

Osztás: darab / csoportok száma = darab

Bennfoglalás: darab : darab = csoportok száma

(Persze könnyen belátható, hogy a két művelet, ha elhagyod a rész, darab, csoport fogalmakat, és csak a számokat írod le, akkor ekvivalensek egymással. De egészen más a tényleges, fizikai, valós tartalma a két műveletnek, és mire ez fontossá válik – mondjuk a törtekkel való osztásnál, aminél igazából értelmezhetetlen az osztás, viszont bennfoglalással mindjárt értelmet nyer, hogy a 2 egészben az 1/2 szelet torta 4-szer van meg. Osztásként ugye nem működik, hiszen nem lehet fél részre osztani valamit.)

A maradékos osztás is igazából maradékos bennfoglalást jelent. Osztásra is értelmezhető persze, hiszen 9 almát el tudsz osztani 4 részre, minden részbe 2 egész alma fog kerülni, viszont marad egy, amit nem tudsz hova rakni, annak a szétosztásához már kellene egy kés. De valójában ezt a fajta osztást az előzi meg, hogy az almákat négyesével csoportosítod, mert egy négyes csoportot szét tudsz osztani kés nélkül négy részre.

> Csak ezzel attól félek, az lesz a gond, hogy nagyon belemagyarázósnak fog hatni

Ez nem belemagyarázás. Ez a művelet definíciója. Amelyik gyufából tudsz négyzetet csinálni, abból négyzetet csinálsz. Amiből nem, az megmarad. Ezért hívják maradéknak, mert megmarad. Ha éppenséggel egyetlen négyzetet sem tudsz legyártani, attól még van gyufaszál, ami megmarad. Ugyan a négyzet legyártása – alapanyag hiányában – nem történik meg, de a kísérlet rá megtörténik.

De algoritmizáljuk a dolgot:

szam = …;

oszto = …;

eredmeny = 0;

while (szam>=oszto) { // ha még készíthető csoport, mert van elég akármink…

eredmeny++; //készült egy csoport

szam-=oszto; //annyival kevesebb gyufánk, almánk, akármink maradt

}

maradek = szam; // Amiből nem készült csoport, az a maradék.

…

szam = eredmeny * oszto + maradek;

// az eredeti számot fogod visszakapni,

// akár lefut a ciklus legalább egyszer, akár nem.

> Na, ezt az utolsó szemléletes példát már én se értem... :S

Pedig jól leírtam, rajzold le. Ez azért ált. isk. másodikos anyag.

> Amúgy a csoportokról rémlik valami lineáris algebrából...

Nem itt a csoportot teljesen hétköznapi értelemben kell érteni. Egy csoport alma az, amit egy zacskóba raksz például.

Oké, mondom máshogy. Mondjuk autót gyártasz, összesen 5 autót, mindegyikhez 4 kerék kell, így összesen 20 kereket használsz fel.

Most jön valaki, tudja, hogy 20 kerék van a raktárban, de nem látott még autót – mert földönkívüli –, így nem tudja, hogy hány kereke van, viszont tudja, hogy 5 autó fog ebből elkészülni. Mit csinál? Oszt: 20 kerék / 5 autó = 4 kerék autónként.

Most jön egy másik valaki, aki azt tudja, hogy 20 kerék van, és tudja, hogy autónként 4 kereket kell felhasználni, és szeretné tudni, hogy hány autó fog ebből kijönni. Mit csinál? Bennfoglal: 20 kerék / 4 kerék autónként = 5 autó.

Itt az autó nem más, mint egy kerékcsoport. Ebben a csoportban pontosan 4 kerék van. Ergo az első esetben:

kerék / csoportok száma = kerék | ez az osztás

A másik esetben:

kerék / kerék = csoportok száma | ez a bennfoglalás.

Ha most 22 autó van, akkor mindkettő megfogalmazható kérdés. Az első esetben kijön az, hogy 22 kerék / 5 csoport = 4 kerék, de kettő nem lett felhasználva, megmarad, ott fog csücsülni tovább a raktárban. A második esetben 22 kerék / 4 kerék = 5 csoport, ergo itt is marad két kerék, amit nem tudunk felhasználni, megmarad, ott fog figyelni a raktárban.

Azért is van analógiában a két művelet, mert az első számítást hogy végzed el? Hogy osztod ötfele a 22 kereket? Hát úgy, hogy veszel 5 kereket, erről tudod, hogy ötfelé lehet osztani fűrész nélkül és öt kupacot csinálsz. Aztán fogod a következő 5 kereket, azt is elosztod 5 fele, egészen addig, amíg már nem tudsz öt kereket összeguberálni a raktárból. Ergó a 22/5 itt tulajdonképpen átalakul egy 22:5 jellegű problémává.

Ha történetesen csak 2 kerék van a raktárban, akkor ugyan autóból 0 db-ot fogunk gyártani, de akkor is megmarad a 2 kerék, ott fog maradni a raktárban, porosodik, vigyázni kell, el ne lopják, hátha még kell valamire.

> De akkor ezek szerint a formális felírásra nincs is matematikai bizonyítás?

Nem kell ide semmiféle bizonyítás. Bizonyítani valamit csak definiált műveletekből és axiómákból lehet. Itt arról van szó, hogy a maradék definíciója az, ami, akármit is gondol róla a barátod.

a / b maradékos osztásánál m jelenti azt a számot, ami esetén 0≤m<b, és amelyre igaz, hogy a = b*c + m, ahol c∈ℤ

nincs jele... de gondolj bele, hogy miért egyértelmű. nincs másik szám...pl van az 50 és a 8. Csak 2 db szám létezik, hogy kielégítse azt, hogy 50=q*8+r. És ebből következik, hogy 50 == 2 (mod 8)

de ha pl a=5 és b=34, akkor is fenn áll, csak itt a q=0. Az r pedig=a. Ebből következik, hogy 5==5 (mod 34)

mivel x a példádban kisebb mint y, ezért ő egy maradékosztály.. és persze, hogy magával kongruens.