Mi az x^x = 2 egyenlet megoldása? Mi a pontos értéke?
Ezen a kérdésen már nagyon régóta gondolkozom. Már az elején sikerült egy közelítő értéket megadni, x = kb. 1,559610469..., de egy pontos értékre vagyok kíváncsi.
Az egyenlet egy kis átrendezéséből az jön ki, hogy melyik x helyen metszi egymást a logˇ2(x) és az 1/x függvény.
Közelítgettem, deriváltam, integráltam, átírtam ln(x)-re, de nem jött ki semmilyen pontos érték. (Mellesleg x^x = e egyenlet megoldásának kerekítő értéke x = kb. 1,7632228342...)
Van valakinek bármi ötlete, hogy lehet ennek az értékét gyökjelekkel, hatványokkal, logaritmusokkal, konstansokkal leírni?
válasza: válasza:Igen, elég kiakasztó...
Egy ilyen egyszerű egyenlet, ami csak 3 tagból áll, és nincs szép értéke. :(
Persze az is kiakasztó, hogy a kör átmérője és kerülete között nincs egy racionális váltószám (pí), és az is kiakasztó, hogy egy egyszerű sorozat - mint pl. a prímek sora - nincs egy általános tagja, stb.
A matematika kiakasztó.
De ezért is szép.
És bocsánat a reakciómért, csak ideges lettem, hogy csak linkeket kapok, de már így értem, köszönöm.
válasza: válasza:Lehet, hogy már tiszta minden, de azért beküldöm:
A W(z) függvény nem sokkal bonyolultabb, mint a szinusz vagy a logaritmus. A logaritmusnak az indirekt definíciója ez: Az ln(z) az a szám, amire teljesül ez az egyenlet:
e^ln(z) = z
A W(z) pedig az a szám, amire teljesül ez az egyenlet:
W(z) · e^W(z) = z
Ugyanúgy, ahogy mondjuk a logaritmust se lehet kiszámolni simán szorzással-osztással, úgy a W(x)-et sem. A számológépedben a logaritmust bizonyára a Taylor sorával közelíti a benne lévő program. Rendesebb matematikai függvénykönyvtárakban mondjuk a logaritmus mellett van W() függvény is, amit talán Newton approximációval közelítenek. Amikor kézzel közelítetted az x^x=2 megoldását, valami hasonlót csinálhattál te is.
--
Amit #7-ben írtál, az nem jó. Így kell használni a W()-t az egyenleted megoldására:
x^x = 2
x · ln x = ln 2
Legyen w = ln x, ekkor x = e^w
w · e^w = ln 2
Ha ezt összevetjük a fenti W(z) definícióval, akkor ezt látjuk:
A jobb oldalak összevetéséből: z = ln 2
A bal oldalak összevetéséből: W(z) = w (= ln x)
Szóval W(ln 2) = ln x
amiből:
x = e^W(ln 2)
Szóval NEM a W(ln 2) lenne az ln(2) · e^ln(2), hanem az x = W(x) · e^W(x)
Közelítő értékek:
W(ln 2) = 0.44443609101886048119...
e^W(ln 2) = 1.55961046946236934997...
---
x^x = e
x = e^W(1)
W(1) = 0.56714329040978387300...
x = 1.7632228343518967102...
---
A W(...) közelítő értékeit én a Wolframmal számoltattam ki... számológéppel nem megy.
válasza:Első közelítésben meg lehet keresni az f(x)=x^x (x>0) függvény szélsőértékét, ami egy - globális - minimum lesz (x=1/e helyen, értéke f(1/e)=(1/e)^(1/e), közelítően x~0.368, f(1/e)~0.692). Aztán második közelítésben tekintettel arra, hogy a f(x) határértéke 0+0-ban 1-, ezért a megoldás x>1/e helyen keresendő. Majd 1^1=1<2, és 2^2=4>2, a megoldásra (x_0) igaz, hogy 1<x_0<2.
Én a Newton-módszert mondanám, méghozzá a g(x)=f(x)-2 függvényre. Ekkor ugyanis a fentiek miatt g(x) zérushelye (azaz éppen az x_0 megoldás) biztos, hogy az [1;2]-ben lesz. Lehet x_n=2.
válasza:Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!