Bizonyítsuk be, hogy k db egymást követő 100.  hatvány összege nem osztható 125-tel, ha 1 < k < 156. Valaki tudná?

100, hatványnak az utolsó 4 számjegyébe, ahol a 125ös modulust értelmezzük, nem szól bele csak az adott szám utolsó számjegye.

pl: 64^100 kongruens 4^100 mod 125

Tehát a feladat leegyszerűsíthető 2 .. 11 intervallumra, ahol csak az utolsó 4 számjegy érdekel minket.

S = (n+i)^100{i = 1 .. k} = (n+i % 10)^100 {i = 1 .. k}

Tovább bontható a következő képen:

S = (n+i)^100{i = 1 .. k} = ((n+i % 10)^10 % 10)^10 {i = 1 .. k}

x = 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

x % 10 = 2,3,4,5,6,7,8,9,0,1

x^10%10 = 4,9,6,5,6,9,4,1,0,1

(x^10%10)^10%1000 = 576,401,176,625,176,401,576,1,0,1

Tehát a 2 .. 155 között akarsz számsort felállítani, ezeket tudod használni. - Remélem nem túl kusza.

Numerikusan nekem 2 .. 32-ig összeadva nekem kijött, hogy mod 125 = 0.

Priviben dobtam egy kis kódot.

TFH, beleszól az tízesek helyén álló is.

Ennek az értéke (y * 10). Emeljük 10. hatványra:

y^10 * 10^10. Tehát ha csak már 10. hatványra emelem, nem fogja a utolsó 10 számjegyet befolyásolni. Ezért csináltam ezt az egyszerűsítést.

(10*n+1)^100 mod 1000 if n=1,2,3,4

{1, 1, 1, 1}

((10*n+1)^10 mod 10)^10 mod 1000 if n=1,2,3,4

{1, 1, 1, 1}

#wtf