A p és q pozitív egész számok egyike sem osztható 3-al. Bizonyítsuk be, hogy ekkor p^2-q^2 osztható 3-al. Valaki levezetné kérlek?

Felbontható: p^2-q^2=(p-q)*(p+q)

3 lehetőség lehet-

1) mindkettő 3-as maradéka 1, ekkor p-q osztható lesz 3-mal.

2) az egyik 3-am maradéka 1, a másiké 2, ekkor p+q osztható lesz 3-mal.

3) mindkettő 3-as maradéka 2, ekkor p-q lesz osztható 3-mal.

Több lehetőség nincs, ezért p^2-q^2 osztható lesz 3-mal.

p maradéka lehet 1, 2 -> p^2 maradéka 1, 4, ahol mindkettő kongruens 1 mod 3, tehát 3-al osztva 1 maradékot ad.

p és q-ra a feladat szimmetrikus.

Ha a kettőt kivonjuk egymásból a maradék 3al osztva 0 lesz.