A nagy hatványszámok között általában nagyok a különbségek. Ellenpélda? Folyt.
Ellenpélda: 55^5 - 22434^2 = 503284375 - 503284356 = 19
Vannak-e más, nagyobb hatványszámok, amelyek között 20-nál kisebb a különbség?
Köszönöm a részletes elemzést!
A módszereddel becslést lehet adni annak a valószínűségére, hogy egyáltalán létezik-e még nagyobb ilyen h.pár (d<=100).
válasza:Ki lehet azt is integrálni, hogy mikor lesz 1 a várható értéke a találatnak, szóval hogy várhatóan hány számot kell megnézi, hogy legyen még egy hatványpáros:
- 2ⁿ és 2·2ⁿ között feltételezzük, hogy a találat valószínűsége állandó:
d/(2·√2ⁿ)
- A tartományban ennyi köbszám van:
∛(2·2ⁿ) - ∛2ⁿ = (∛2 - 1)·∛2ⁿ
- A tartományban a becsült várható érték:
(∛2 - 1)·∛2ⁿ · d/(2·√2ⁿ) = (∛2 - 1)·d·2^(n/3 - n/2 - 1)
= (∛2 - 1)·d·2^(-n/6 - 1)
- Egy 2^n és 2^m közötti tartományra:
m
∫ (∛2 - 1)·d·2^(-x/6 - 1) dx = (∛2 - 1)·d·[-6·2^(-x/6)] / ln 2
n
E(n,m,d) = 6·(∛2 - 1)·d·(2^(-n/6) - 2^(-m/6)) / ln 2
Itt az m egyre nagyobb lesz, ahogy 2^m-ig keressük a találatokat. Ha végtelen lenne, akkor nullát kellene kivonni. Vagyis közelíthetjük a várható értéket simán ezzel:
E(n,∞,d) = 2^(-n/6) · 6·(∛2 - 1)·d / ln 2
Tudjuk, hogy n=64-ig nem találtunk már mást, és 64 után érdekel, hogy mennyit találhatnánk majd.
E(64,∞,100) = 2^(-64/6) · 6·(∛2 - 1)·100 / ln 2 = 0,138
Szóval a végtelenig menve sem várható, hogy legalább 1-et találunk még.
Érdekességképpen: E(1,∞,100) ≈ 200.45
A számítógép kevesebbet talált 2⁶⁴-ig: kereken 50-et. Végülis a 200 nem rossz becslés rá :)
Ha d=50-nel keresek, akkor 30-at (majdnem 50 fele), ha d=200-zal, akkor 86-ot (majdnem 50 duplája) talált a program. Nagyjából lineáris, ahogy a modell becsülte.
Köszi. Megdolgoztattam a számítógépet.
A legnagyobb h. 1000 körüli különbséggel:
149651610621^2 - 28187351^3 = 1090 (~2.23956E+0022)
Nagy számoknál:
b^2 - a^3 = d ; |d| < 100000 ; 10^24 < h < 10^30
a,b,d,~h
103289609 1049747744368 25895 1.10197032680570E+0024
106011056 1091507542127 20513 1.19138871452012E+0024
106999199 1106804177919 92962 1.22501548825895E+0024
107994529 1122283639935 -93664 1.25952056846575E+0024
108997072 1137947555953 20961 1.29492464009941E+0024
110781386 1166004406095 8569 1.35956627503295E+0024
112749404 1197212884968 69760 1.43331869193340E+0024
114932466 1232151436201 -58295 1.51819716173219E+0024
115716430 1244779822617 21689 1.54947680679441E+0024
121603794 1340975019110 -98084 1.79821400187706E+0024
128694365 1459954419179 -43084 2.13146690608029E+0024
133566713 1543644740562 46747 2.38283908506472E+0024
136918715 1602116974677 78454 2.56677880054818E+0024
140292677 1661699554612 -22189 2.76124540979772E+0024
144185972 1731348576567 55441 2.99756789358058E+0024
154319269 1917035856801 11492 3.67502647626074E+0024
184151166 2498973838515 -37071 6.24487024558239E+0024
189024034 2598816054105 79721 6.75384488307388E+0024
227449469 3430262778906 -71873 1.17667027323479E+0025
384242766 7531969451458 14668 5.67305638176965E+0025
390620082 7720258643465 14857 5.96023935219960E+0025
428895712 8882343339054 30788 7.88960231928370E+0025
890838663 26588790747913 -44678 7.06963793436304E+0026
912903445 27582731314539 -63604 7.60807066770050E+0026
1053831624 34210296678956 -88688 1.17034439886219E+0027
1303201029 47045395221186 99207 2.21326921151759E+0027
1979757358 88088243191777 91017 7.75953858861365E+0027
3171881612 178638660622364 -64432 3.19117710689521E+0028
3790689201 233387325399875 28024 5.44696436573071E+0028
Itt már d<100000 is alig van. Olyan d<100000, hogy nem egy négyzet-, ill. köbszám különbsége nincs is 10^15 - 10^30 között.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!