10^100-ig összesen kb hány db teljes hatvány van? Négyzet-, köbszámok, n. hatványok mindösszesen.

Vizsgáljuk a kérdést általánosan n-ig! Legyen f(n) az 1-től n-ig az összes teljes hatvány száma. Négyzetszám van összesen 1-től n-ig, 1^2, 2^2, 3^2,..., [n^(1/2)]^2, összesen [n^(1/2)] db.

Hasonló módon k hatvány van [n^(1/k)] db.

Mivel ha k=prod{i=1..n}{p(i)^(a(i)}, akkor minden k hatvány p(i) hatvány is, mert b^k=b^(prod{i=1..n}{p(i)^(a(i))})=b^p(i)^(prod{j=1..n,j=/i}{p(j)^(a(j))})*(p(i)-1))

Tehát f(n)=szum{p,p prím}{[n^(1/p)]}

Nyilván ezt nagy n-re nehéz meghatározni.

#3-as vagyok

Éppen azért kell prímekre összegezni, hogy az általad említetthez hasonló példákban ne számoljunk többször.

A probléma az, hogy az alapfelvetésben n=10^100 esetén 10^50-ig kell elszámolni, hiszen (10^50)^2=10^100, így 10^50 közelében is van olyan prímszám, melynek négyzetét számolnunk kell. Ráadásul a prímek megtalálása is nehéz probléma.

Persze felmerül, hogy esetleg f(n)-et, mint sort felülről becsüljük, azonban a szum{p,p prím}{n^(1/p)} sor divergens, mert általános tagjára

lim(p->inf)(n^(1/p))=n^0=1.