Hogyan lehet bebizonyítani, hogy létezik teljes hatványokból álló bármilyen véges hosszú számtani sor?

Számtani sorozatnak hívjuk a sorozatot, ha két egymást követő tag közötti távolság a(n) - a(n-1) = d formában állandó, ahol a távolságot a sorozat differenciájának hívjuk és d-vel jelöljük..

Mértani sorozatnak hívjuk a sorozatot, ha két egymást követő tag hányadosa a(n) / a(n-1) = q formában állandó, ahol ezt a hányadost a sorozat kvóciensének hívjuk (ami a latin 'quotiens' szóból ered) és q-val jelöljük.

Az a^n egy mértani sorozat.

Definíció szerint:

(tfh, q!= 0)

a(n) = a(n-1) * q

a(n) = a(n-1) + d

a(n+1) = a(n) * q => a(n) = a(n+1) / q

a(n+1) = a(n) + d => a(n) = a(n+1) + d

Ezzel ekvivalens, hogy:

(a(n-1) + d) * q = (a(n-1) * q ) + d

q * a(n-1) + q * d = q * a(n-1) + d // - q * a(n-1)

q * d = d

Ez mikor érvényes?

d = 0 esetén. Ilyenkor a(n) = a(n-1), tehát q = 1

illetve

q = 1 esetén. Ilyenkor a(n) = a(n-1), tehát d = 0

Amennyiben az állítás azt mondja, hogy a sorozat csak a^n-ből áll, az állítás nem igaz.

Amennyiben az állítás azt mondja, hogy a sorozat tartalmazza a^n-t, de a^(n-1) és a^n között a sorozatnak több tagja is állhat, akkor a bizonyítás megoldható, és ha nem is végtelen, de sok ilyen sorozat létezik 'a' értékétől (prímfelbontásának legnagyobb kitevőjétől) függően.

#1: Gondolom a kérdés kiegészítésében írt kifejezés csak egy elemre vonatkozik, magyarán egy olyan számtani sorozatot keresünk, ahol

a[1] = x^n | x,n>=2

a[2] = y^m | y,m>=2

a[3] = z^o | z,o>=2

Pl. a következő sorozat:

a[1]=289

d=2312

Ennek a sorozatnak az első négy eleme: 289, 2601, 4913, 7225, aminek mind a négy eleme teljes hatvány:

289 = 17^2

2601 = 51^2

4913 = 17^3

7225 = 85^2

(Ezt a sorozatot is csak programmal találtam meg, nyers erő módszerrel.)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Nem tűnik egyszerű feladatnak. Egyelőre nem tudom mi a megoldás. A megtalált sorozatban mindenképpen gyanús, hogy mindegyik alap osztható 17-el. (51=3*17 és 85=5*17) Gondolom valahogy a maradékokon keresztül kellene megfogni a témát, de ez inkább csak sejtés.

Igen, így is lehet értelmezni. Bár alapvetően 'a' és 'n' a sorozat tagjai jelöli, továbbá nem futó, változókként vannak feltüntetve. Picit lehetne pontosítani a kírást.

Értelmezzem 2xsü gondolatmenetét:

A "bármilyen" annyit tesz, hogy ők adják meg, milyen hosszú legyen.

Az "akármilyen" annyit tesz, én mondom meg, hogy milyen hosszú legyen.

És ezekhez a hosszokhoz kell találni sorozatot.

hossz = [1,2] -re könnyen találni ilyen sorozatot.

A két tagnál hosszabb többire numerikus, programozott módszereket lehet keresni. Mindazonáltal nem hiszem, hogy kiskutya eleme ]0,oo[ között bármilyen egész számra meg lehetne állapítani pontosan, hogy kiskutya hosszú ilyen sorozat létezik. Ennek a bizonyítása és ellenkezőjének bizonyítása nem tűnik véges idő alatt megoldható problémának.

Ha megvan a megoldás, érdekelne! :)