Gondoltam egy + egész számra, négyesre végződik. Ha négyzetre emelem,9 jegyű lesz, ha még 19-et hozzáadok, ötödik hatvány lesz. Melyik számra gondoltam?

Erre jó a programozás:

#! /usr/bin/perl

=pod

Gondoltam egy + egész számra, négyesre végződik. Ha négyzetre emelem,9 jegyű lesz, ha még 19-et hozzáadok, ötödik hatvány lesz. Melyik számra gondoltam?

Tehát:

1] x, n > 0, egész

2] x % 10 == 4

3] 10^9 > x^2 > 10^8, azaz 10^4.5 > x > 10^4, azaz x 5 számjegyű

4] x^2 + 19 = n^5

=cut

# Végig iterálok az 5 jegyű számokon:

$szamjegy = 10;

foreach (10**($szamjegy-1) .. 10**$szamjegy-1)

{

# 4esre végződik?

if ($_ % 10 == 4)

{

# négyzetre emelem, 9 jegyű lesz?

$negyzet = $_ ** 2;

if (($negyzet >= 10**8) && ($negyzet < 10^9) )

{

# n vajon 5. hatány? Azaz az n 5. gyöke azonos n 5. gyökének egészrészével?

$n = ($negyzet + 19) ** (1/5);

if ($n == int($n))

{

print "$_ -> ".($_ ** 2)." -> ".($n)."\n";

}

}

}

}

A num matekot lebecsülni kicsit pimasz dolog :P, de legyen:

Legerősebb feltétel a 3-4 együtt. Ezt összevonva: van egy szám, aminek 5/2-dik hatványa legfeljebb 10 számjegyű (+19 miatt), de legalább 9 számjegyű.

10^9 > n^2.5 > 10^8

3981,07 > n > 1584,89

Az, hogy négyes legyen a vége, az azt jelenti, hogy kongruens lesz 4 mod 10 -el. Ami 5. hatvány esetében azonos az eredeti szám kongruenciájával.

n^1 === 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 mod 10

n^5 === 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 mod 10

Tehát oszthatósággal nem szűkíthető az 5. hatvány számossága.

De x-ből kiindulva:

x^1 === 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 mod 10

x^2 === 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 mod 10

x^2 + 19 === 9 0 3 8 5 4 5 8 3 0 mod 10

Tehát ha x === 4 mod 10-el, akkor n^5 === 5 mod 10-el, azaz n === 5 mod 10-el, tehát n 5-ösre végződik.

Tehát 3976 > n > 1584 és 4esre végződik. Máris csak 239 számot kell megvizsgálni a továbbiakban.

Nem kell elbonyolítani a dolgot.

Az ötödik hatványok már elég ritkán helyezkednek el ahhoz, hogy a 9 jegyűeket ne tudjuk őket "kézzel" kiválogatni.

Egy kis számológépezés után kiderül, hogy a kilencjegyű ötödik hatványok: 40^5-től 63^5-ig vannak.

Hs a keresett szám négyre végződik, akkor a négyzete 6-ra, hozzáadva 19-et pedig 5-re, ami osztható 5-tel nyilván.

Tehát a 40^5 ...63^5 számok közül csak azok kellenek, amelyek oszthatók 5-tel, ezekből máris csak 5 darab marad: 40^5,45^5,50^5,55^5,60^5. Innen 2 perc alatt kideríted egy számológéppel, hogy te az 55^5-t keresed. Kivonsz belőle 19-et, az lesz 503284356, ennek a gyöke pedig: 22434, ami valóban 4-re végződik.