Egy számítógépes program 1 milliárd hatványait (1. ,2. , stb) használja input paraméternek, és hosszú (előjel nélküli) egészként 32 bites szavakon ábrázolja. Folytatás? Van.

Nem biztos, hogy egészen értem a kérdést. Egy 32 bites előjel nélküli egész esetén az első bit akkor fordul át, mikor a szám nagyobb, vagy egyenlő, mint 2^31. 2^31 = 2 147 483 648. Így:

2 147 483 646 = 0b 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110

2 147 483 647 = 0b 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

2 147 483 648 = 0b 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

2 147 483 649 = 0b 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

Magyarán, ha a szám nagyobb, vagy egyenlő 2 147 483 648-al, akkor az első bit 1-es. Ha kisebb, akkor meg 0-ás.

Ha a paraméter egyszerű szám, ami 1 milliárd valamelyik hatványa, akkor 1 millárd esetén még 0 az első bit. 1 millárd négyzete meg bele sem fél egy 32 bites egészbe. Tehát a paraméter vagy 0 vagy 1 milliárd (első hatványa) lehet csak.

Tehát végülis van egy (10^9)^n kifejezésünk, és az a kérdés, hogy ennek a 2^32 számrendszerben felírt alakjának első számjegye mikor nagyobb vagy egyenlő, mint 2^31. Ez elég vicces kérdés így matematikailag megfogalmazva.

Ehhez azt kell tudni, hogy mondjuk van egy n számunk, ezt m számrendszerben felírva a számjegyek számát a log_m(n) adja meg. Az első számjegyet ennek a törtrésze fogja megadni. Tehát m ^ (log_m(n) - floor(log_m(n)). Ez az első számjegy.

Itt tehát a kérdés, hogy ha van egy számunk, ami 1 millárdnak az n-dik hatványa (ahol n egész), akkor mikor teljesül a következő:

2^32 ^ (log_{2^32}((10^9) ^ n) - ⌊log_{2^32}((10^9) ^ n)⌋) >= 2^31

Vicces feladat.

Megoldás:

32 bites szavak binárisan kiírva: [link]

32 bites szavak decimálisan kiírva: [link]

"#7: Szép! Gratulálok! Számítógéppel megoldva a "számítógépes" kérdés. "

Köszönöm.

"Legyen X=log2(2^32 / 10^9)=(log2(2^32 - log2(10^9))=(32-29,89735)= X = 2,10265"

Nem jól van zárójelezve, helyesen: "Legyen X=log2(2^32 / 10^9)=log2(2^32) - log2(10^9))=(32-29,89735)= X = 2,10265"

"A legfelső szó log2-je rendre: 32-X, 32-2X, 32-3X,... majd amikor 0 alá menne +32-vel ugrik,"

0 alá menés +32 vel való ugrás az nem más mint mod 32.

Amit te írsz az nem log2-je hanem log2-ének log2-je, dehát log2-je : 2^log2(32-(1*x) mod 32), 2^log2(32-(2*x) mod 32) ... ==> A legfelső szó trunc(2^(2^log2(32-(1*x) mod 32))), trunc(2^(2^log2(32-(2*x) mod 32))) ...

"ami átlagosan Y = 32/X = 15,2189 -enként történik meg. "

Korábban meg azt írtad hogy "átlagosan minden 32. n-re igaz".

Vettem a milliárdnak az első 10000 hatványát, ezek közül listába raktam azok sorszámát melyek a feltételnek megfelelnek: [link]

Ezekből 4754 db van, ekkor mondhatom azt hogy ezek közül átlagosan minden 2.103491796381994 -ik tagra igaz.

Viszont ha máshogy veszem az átlagot egész más jön ki. A [link] listát egy szigorúan monoton növekvő sorozatnak tekintem, ebből csinálok egy másik sorozatot mely egy a növekedés mértékét tartalmazza: [link]

Ennek veszem a számtani átlagát akkor 32.00673258994319-et kapok, tapasztalat szerint ez az átlag a sorozat hosszának növelésével 32-be tart.

"Jól látszik: [link] és [link]

Alkalmas n-ek: k*Y (k=1,2,3...) felfelé kerekített értékei LEHETNEK: 16,31,46,61,77,92,107...

de ezek közül csak azok jók melyekre (n*X) mod 32 a (0..1) intervallumba esik: 46,61,107,122,137,183... "

Pontosan.

"Vettem a milliárdnak az első 10000 hatványát"

Elírtam, nem a milliárdnak vettem az első 10000 hatványát, hanem 16,31,46,61,77,92,107... stb hatványai közül vettem az első 10000-et.