Van egy szám: 3,1234123412341234 tehát a 3,1234 végtelenítve ez a szám 2 egész szám hatványaként felírható. Melyik az a 2 egész szám aminek a hatványaként ez a szám felírható? Kérlek titeket minél részletesebben!

Nevezzük azt a számot x-nek

x = 3,12341234....

1000·x = 31234,12341234...

1000·x - x = 31234 - 3

9999x = 31231

x = 31231/9999

Most nézem a kérdésedet: nem hatványaként, hanem hányadosaként.

És el is írtam, kimaradt egy nulla. Szóval tízezerrel kell szorozni, mert 4 hosszú az ismétlődő rész:

10000·x = 31234,12341234...

10000·x - x = 31234 - 3

A többi jó.

Azt ugye érted, hogy amikor a 10000x-ből kivonjuk az x-et, akkor a teljes tizedesrész kiesik.

Képzeld el, hogy felírod az eredeti számot egy papírra, és aláírod a szorzottat úgy, hogy a tizedesvesszők egymás alatt legyenek. 10-zel való szorzás eggyel balra csúsztatja a számokat a tizedesvesszőhöz képest. Ha 4 hosszú az ismétlődő szakasz, akkor 4-gyel elcsúsztatva, vagyis 10^4-nel (10000-rel) beszorozva az eredeti szám és a beszorzott szám ismetlődő számjegyei pont egymás alatt lesznek. Ha a két számot kivonjuk egymásból, a teljes végtelen hosszú ismétlődő számsor kiesik. Ezért már oda se írtam a törtrészt a kivonáskor, így lett 10000x=31234,12341234...-ból 31234, illetve x=3,12341234...-ból 3.

Ha n hosszú az ismétlődő szakasz hossza, akkor 10 az n-edikennel kell beszorozni, és 10^n·x - x lesz a kivonás.