Ha a számosságok számossága legalább kontinuum lenne, akkor az a kontinuum-hipotézis elvetéséhez vezetne?

@dq, ha megengeded, megpróbállak megcáfolni, és mutatni olyan halmazt, aminek a számossága szerintem megegyezik a hatványhalmazával.

Definiáljunk egy úgynevezett szuperhatványhalmazt a következőképpen:

sup(A) := P^|A|(A)

Azaz, annyiszor végzünk hatványhalmazképzést az inputon, amekkora a számossága. Példák:

sup({}) = {}

sup({x}) = P({x}) = { {}, {x} }

sup({x,y}) = P(P({x,y})) =

= P({ {}, {x}, {y}, {x,y} }) = { {}, {{}}, {{x}}, {{y}}, {{},{x}}, {{},{y}}, {{x},{y}}, {{x},{x,y}}, {{y},{{x,y}}}, {{x},{y},{x,y}}, {{},{x},{y}}, {{},{x},{x,y}}, {{},{y},{{x,y}}}, {{},{x},{y},{x,y}}, {{x,y}}, {{}, {x,y}} }

sup({x,y,z}) = P(P(P({x,y,z})))

stb.

Ezek számossága:

|sup({})| = 0

|sup({x})| = 2 = 2^1

|sup({x,y})| = 16 = 2^2^2

|sup({x,y,z})| = 2^2^2^3

|sup({x,y,z,w})| = 2^2^2^2^4

Általánosságban:

|sup(A)| = O(2^^|A|)

(Lásd: tetráció.)

Ez pedig a végtelen halmazokra:

|sup(N)| = 2^^|N|

|sup(R)| = 2^^c

Mivel a^^n = a^(a^^(n-1)), így

2^^c = 2^(2^^(c-1))

és mivel c = c-1, így a fenti számosságra:

2^^c = 2^(2^^c)

azaz a sup(R) halmazra igaz, hogy megegyezik a hatványhalmazával.

sup(R) = P(sup(R))

Valószínűleg az már nem lesz igaz, hogy sup(R) = sup(sup(R)), hiszen vélhetően 2^^c = 2^^2^^c sem igaz. Így a kérdést kicsit átpasszoltuk egy magasabb szintre, viszont arra kísérletet adtam választ adni, hogy a számosságoknak (nem az összesnek) lehet egy olyan halmaza, ami kontinuum. Ám ebből önmagában még nem következik a kontinuum-hipotézis elvetése. De lehet-e ezen úgy csavarni, hogy következzen?