Konvergens-e a sin(1)/1+sin(2)/2+...sin(k)/k+... avagy a szumma(sin(k)/k) (k=1->végtelen) sor? És van-e pontosan (nem közelítőleg) megadható összege?

A Dirichlet-kritériumot lehet itt használni. Eszerint egy ∑a_k*b_k sor akkor konvergens, ha egyrészt a_k monoton fogyva tart 0-hoz, másrész | ∑_k=1^m b_k| <= M minden m-re, alkalmas *fix* M nemnegatív valós számra.

Az a_k sorozatnak választható 1/k, b_k-nak sin(k); egy kis számolással látható, hogy b_k=sin(k)-ra teljesül a második feltétel. Tehát a Dirichlet-kritérium szerint a sor konvergens.

A második kérdésedre a válasz, igen, ennek szép az összege, konkrétan (pi-1)/2, de ahhoz kellenek komplex számok. Vagy legalábbis anélkül nem tudok levezetést, ami nem jelenti, hogy nincs is.

Igen és igen.

[link]