Milyen összefüggés van a szumma és az integrál között?

Az elsővel kell egyetértenem. Szerintem túlbonyolítod. Persze nem ismerem a kérdés szintjét (hogy annak megfelelően adhassak választ) de alapvetően mindkettő egyfajta összegzést jelent.

A summa egy bizonyos törvényszerűség szerinti összeadogatás.

Az integrál pedig a függvény alatti terület meghatározása/összeadása.

Az integrál a szumma határértéke.

A szumma elemei véges diszkrét értékek. Az integrál eleme egy függvény. Ez azért van így, mert ha a szumma elemeit egy függvény diszkrét helyein vett értékeknek tekintjük, akkor határértékben (azaz a függvény egyre sűrűbb változóértékei mellett, pontosabban, a függvény változóértékeinek egymáshoz való legnagyobb távolsága egyre kisebb) éppen ennek a függvénynek az integrálját kapjuk (pontosabban ezt a határértéket nevezzük integrálnak).

Ha a változóértékek véges értékek között változnak, akkor kapjuk a határozott integrált, ha a változóértékek a teljes értelmezési tartományból valók, akkor határozatlan integrálnak nevezzük ezt a határértéket. Utóbbi szintén egy függvény.

Amennyiben a szumma elemei csak úgy egymástól független számok, akkor semmi közük az integrálhoz.

Az általad említett tulajdonságok meglévő, ám lényegtelenek a szumma és az integrál fogalma szempontjából. Az integrál tehát kizárólag egy függvény diszkrét értékei összegzésének határértéke lehet, és mindig (véges vagy végtelen intervallumon vett) határozott integrál. Ha általánosítjuk megfelelő módon, akkor kapjuk meg az integrálfüggvényt.

Az

: ∫ dx f(x)

az a

: Σ (x_i+1 - x_i) f(x)

értékek határértékének felel meg bizonyos esetekben. Tetszőleges bevezető analízis könyvben megtalálod a Riemann-integrál résznél.

Szóval az integráljel definiálását a szumma jellel szokták megtenni.

Fordítva is műkődik, szummálni is lehet integrál jellel, ha megfelelő mértéket veszel.