Az E = sqrt ( (mc^2) ^2 + (pc) ^2 ) illetve az E = mc^2/sqrt (1 - v^2/c^2) képletek a relativisztikus energiára ekvivalensek?

g-vel jelölöm az 1/sqrt(1 - v^2/c^2) =: g Lorentz-tényezőt ( [link] )

p = gmv-t beírva az elsőbe:

: E^2 = m^2 c^4 + g^2 m^2 v^2 c^2 = m^2 c^4 (1 + g^2 v^2 / c^2)

A zárójeles részt jobban megnézve:

: (1 + g^2 v^2 / c^2) = ( 1/1 - v^2/c^2 / (1 - v^2/c^2) ) = ( (1 - v^2/c^2 - v^2/c^2) / (1 - v^2/c^2) ) = g^2.

Így

: (mc^2)^2 + (pc)^2 = m^2 c^4 g^2 = E^2

A második egyenletben elrontottam egy előjelet, helyesen:

: (1 + g^2 v^2 / c^2) = ( 1/1 + v^2/c^2 / (1 - v^2/c^2) ) = ( (1 - v^2/c^2 + v^2/c^2) / (1 - v^2/c^2) ) = g^2.