Van zárt képlet az alábbi sor véges összegeire? 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+. +n (n-1) = S (n) =?

(n-1)n(n+1)/3

Bizonyítsd teljes indukcióval!

Ilyenkor, ha nincs ötlet, akkor azzal lehet próbálkozni, hogy keresünk egy harmadfokú polinomot, ami jó lehet. (Azért harmadfokút, mert az n*(n + 1) másodfokú.) Ezt pedig úgy kell, hogy a polinom

a*n^3 + b*n^2 + c*n + d

alakú általában, ezért kiszámoljuk az összeget n < 5-re, és összevetjük ezzel. Ez egy 4 ismeretlenes lineáris egyenletrendszer lesz a, b, c, d-re, amit megoldhatunk, aztán az eredményt ellenőrizhetjük teljes indukcióval.

Amúgy meg: [link]

Közismert képletek vannak szumma n^2-re ill. szumma n-re:

n*(n+1)*(2n+1)/6 ill. n*(n+1)/2

A sorozatod e kettő összege (vagy különbsége, a "furcsa" n=2-től jelöléseddel), hiszen a sorod így is írható:

1*1+1 +2*2+2 +3*3+3 ... n^2+n

vagy a jelöléseddel

2*2-2 +3*3-3 +4*4-4 ... n^2-n