A matematikában miért vették 2pi-nek a teljes kört, nem pedig 1-nek?

Azért - kérdező - mert a kör és az átmérő viszonyát vizsgálták.

Az irracionális matematikai állandók nem kitalációk, hanem fontos és megkerülhetetlen törvényszerűségek - melyek jelentőségét lehet nem érteni, de attól még alapvetőek maradnak a matematikához értő intelligens létformák számára!

Mert nem annyi.

A Föld-Hold távolságot miért nem vették 1 méternek, akkor át lehetne lépni, egyikről a másikra.

Amit mondasz, az tulajdonképpen egy új fokbeosztás, csak nem 360 részre osztjük a kört, hanem 1-re. Lehet használni, de a baja is ugyanaz, mint a fokbeosztásnak: önkényes, nem természetes. 1rad ívhossza az egységsugarú körön egy, ez egyszerűsíti a képleteket és a számításokat. Fizikában pl. v = r*omega a kerületi sebesség, míg ha a szögsebességet nem radián/másodpercben hanem fok/másodpercben mérnénk, akkor a képlet így alakulna:

v=2*Pi()/360*r*omega

Tehát ha a szög egyben ívhossz is, akkor a legegyszerűbbek a számítások és a képletek.

"Ha például egy 60°-os szög színuszát kellene kiszámolni, akkor az egyszerűen sin(1/6) lenne, nem pedig sin(pi/3)." Node az 1/6 az egy VÉGTELEN tizedes tört 0.016666666.... A Pi-vel és az 1/6-dal is kerekítve számolunk géppel, ha meg levezetésben a matematikailag egzakt értéket használjuk, akkor az egyikre az "1/6" a másikra a "Pi" literált használjuk.

Nem a kört vették két pinek, hanem a pi számot definiálták úgy (valamikor az ókorban), hogy a kör kerülete átmérő * pi legyen. Ha a definíció úgy hangozna, hogy sugár * pi, akkor az általunk ismert pi kétszerese lenne a fontos a matematikában, és az bukkanna fel a képletekben, melyek egy kicsit másként néznének ki.

Azóta is ezt a pi számot használjuk, és csak később derült ki, hogy mégiscsak célszerűbb a felsőbb matematika számára, ahol a szögeket radiánban mérik.

"Ha például egy 60°-os szög színuszát kellene kiszámolni, akkor az egyszerűen sin(1/6) lenne, nem pedig sin(pi/3)."

Azt ugye tudod, hogy a 60°-os szög sinusának kiszámolának szempontjából tökmindegy, hogy ezt a szöget te milyen egységben írod fel?

A teljesszög azért 2pi radiánban, mert ahhoz a kör kerülete tartozik, annak az egységkörben a hossza pedig 2pi. Hogy miért mindig az egységkörre hivatkozunk, az majd mindjárt jön.

Korábban én is tettem fel hasonló kérdést. Nekem akkor az volt a problémám, hogy középiskolában elintézik annyival a radiánt, hogy az azért a valós számok halmaza, mert nincs neki mértékegysége (mivel két hossz arányával adták meg), viszont ha ezt a viszonyszámot osztjuk vagy szorozzuk bármilyen nemnulla számmal, akkor is mértékegység nélküli számot fogunk kapni. A kérdés egyébként a felsőbb matematikában fontos, ugyanis a deriválásnál nem mindegy, hogy milyen halmazon vizsgálódunk.

Mindenféle mértékelmélet nélkül, én akkor arra a felismerésre jutottam, hogy azért van ez így, mert az egységhosszt ismerjük, és igazából csak ezt ismerjük, és a különféle problémáknál ezzel kell tudnunk számolni.

Például ha van egy 3 méter sugarú kerekem, amit ha megforgatunk a középpontja körül 2 méterrel, akkor feltehetjük magunknak a kérdést, hogy hány fokkal forgattuk el. A 3 méter most azért érdekes, mert mint hosszt, ezt ismerjük egyedül (van egy 3 méteres cérnánk), ebből tudunk kiindulni, tehát a 2 métert is úgy tudjuk kimérni a köríven, hogy a 3 méterből szerkesztéssel 2 métert csinálunk, majd ezt a cérnát ráfektetjük a kerekünkre, így tudjuk megmondani, hogy mikor fordult 2 métert.

Ekkor egyszerűen megcsinálhatjuk azt, hogy vesszük az egységkört, vagyis a hasonlóság miatt osztunk 3-mal, így 2/3-ot kapunk, tehát 2/3 radiánnak megfelelő szöggel forgattunk. És mivel a szög és a körív hossza egyenesen arányosak egymással, ezért azzal ki tudjuk számolni a forgatás szögét fokban.

Felvetődhetne az is kérdésnek, hogy miért a sugár az egység, nem pedig az átmérő. Erre pedig az a válasz, hogy aa különféle trigonometrikus függvények a kör sugarának mozgatásából lettek származtatva, nem pedig az átmérőéből.

Nem vették két pi-nek a teljes kört. 6.28.. az egységkörív hossza. Ez nem konvenció, hanem tény. Ráadásul ez a szám sok mindenhol megjelenik, például a sinus függvény periódusa ennyi (és annak sincs feltétlenül köze a körhöz, Euler formulával, Taylor-sorral, derékszögű háromszöggel, meg csillió módon lehet még definiálni[0]).

Ha csak egy szög kell neked, azt valóban egyszerűbb egy 0-1 közötti törtszámmal megadni, én is úgy szoktam. Ha tau-nak, vagy turn-nek[1] hívod, akkor még korrekt is, és meg is értik, de akár az is elhagyható, mondhatod hogy "fél" vagy "egész".

[0] : [link]

[1] : [link]