Melyik a legnagyobb prímszám?

#113-#114

Egy bizonyos ponton túl, az FFFFFFFFFFFFFF-től kezdődően végződik mindig 6-ra.

Legalabb ellenőrizd már le a beírt számaimat, mielőtt hibás átalakító programozol.

> Éppen ezért kell T-vel jelölni, és akkor nincs ilyen probléma, hogy hányasra végződik

Továbbra is lásd a #110-es választ. NINCS legnagyobb természetes szám, ami meg nincs, az nem is végződik semmire. A végtelen meg nem szám – annak ellenére, hogy bizonyos műveletek némi átfogalmazással értelmezhetőek rajta –, nincsenek számjegyei.

A végtelen fogalma nem azonos a legnagyobb szám fogalmával.

> Vagy jobban örülnél, ha kiegészíteném a számok axiómarendszerét úgy, hogy legyen másik vége?

Megteheted, hogy felírsz egy új axiómarendszert, akár véges számú halmazra értelmezve. De az nem a természetes számok axiómarendszere lesz, és nem is feleltethető meg annak.

> A döntött nyolcassal hogyan számolsz? Hogy csinálsz vele teljes indukciót visszafelé?

Pont ez a lényege a végtelen fogalmának. Nem számról van szó, így bizonyos dolgok nem értelmezhetőek rajta. Pl. teljes indukcióval nem lehet a végtelentől eljutni sem az 0-ig, sem a 1-ig, sem bármilyen véges számig. Az a gond, hogy te a végtelent úgy próbálod elképzelni, mint valamilyen nagyon nagy számot. Ez teljesen hibás megközelítés, a végtelen fogalmának a meg nem értése.

Amúgy a kérdésed bizonyos szempontból – a végtelen fogalmának meg nem értése szempontjából – hasonló ahhoz a kérdéshez, hogy mi a π utolsó számjegye.

A π bármilyen egész alapú számrendszerben végtelen tizedes tört alakban írható le. Végtelen, tehát a számjegyek sorának nincs vége, így nincs utolsó számjegy sem. Szokták ugye erre a kérdésre azt mondani, hogy kettes számrendszerben 1-re végződik, hiszen ha 0-ra végződne, akkor az elhagyható lenne. De ez nem igaz. A π kettes számrendszerben nem 0-ra, nem is 1-re, nem is T-re, és nem is mákos gubára végződik. A π számjegyeinek sora nem végződik be, így nincs értelme annak a kérdésnek, hogy milyen számjegyre végződik.

Ugyanilyen hibás állítás, hogy a párhuzamosok a végtelenben találkoznak. Egyrészt – ha nagyon értelmezni akarom a dolgot – ott sem, hiszen az egyik egyenes bármelyik pontján – függetlenül annak egy önkényesen megválasztott ponttól, mint origótól való távolságától – a másik egyenes távolsága ugyanannyi, így ahogy az egyenes egy pontjának az origótól vett távolsága a végtelenhez tart, a másik egyenes ettől való távolsága nem tart a nullához. (Maximum projektív geometriában van ennek a végtelenben való találkozásnak valamiféle határérték természetű értelme.) Másrészt a végtelen ahogy nem szám az algebrában, úgy nem hely a geometriában. Ergo pl. az is értelmetlen kérdéskör, hogy a párhuzamosoknak akkor most egy vagy két metszéspontja van-e, mert valójában nincs metszéspontjuk.

#123

Az nem változtat a tényen, hogy nem 9-re vegződik, tehát ...FFF soha nem lehet ...999. Ezekszerint mégsem a ...999 a legnagyobb szám?

> Te valahogy rá akarod erőltetni a világnézetedet a számokra, és kitalálod, hogy nincs legnagyobb szám, mert csak

A természetes számoknak van egy definíciója. A természetes számok halmazában definiálva van a rákövetkezés (szukszcesszió) művelete. A művelet a halmaz minden elemére értelmezett. Pl. a Peano-féle axiómarendszerben a számok tulajdonképpen csak rövidítések, a rákövetkezés műveletének sokszori ismétlését rövidítik:

1 := s0 (magyarán, az, hogy „egy” az csak rövidítése annak, hogy „a nulla után következő szám”)

2 := ss0

3 := sss0 (magyarán az, hogy „három” az csak rövidítése annak, hogy „a nulla után következő szám után következő szám után következő szám”)

Az axiómarendszerben nincs olyan axióma, hogy bármelyik számra vagy ne lenne értelmezett a rákövetkezés művelete, vagy az így kapott szám ne lenne a természetes számok halmazának eleme.

A természetes számokra továbbá értelmezett a kisebb, nagyobb, egyenlő reláció. A természetes számoknál definíció szerint ez azt jelenti, hogy minden számnak a rákövetkezője nagyobb a számnál:

x < sx

~ ~ ~

Tegyük fel megtalálni véltük a legnagyobb természete számot. Jelöljük ezt X-szel. Erre igaz, hogy:

1. Értelmezhető rá a rákövetkezés művelete, azaz létezik sX.

2. A rákövetkező szám is eleme a természetes számoknak, azaz: sX∈ℕ

3. A rákövetkező szám nagyobb, mint maga a szám: X < SX

A fenti háromból viszont az következik, hogy a legnagyobbnak vélt számnál van nagyobb szám, és az is természetes szám, tehát az eredetileg legnagyobbnak vélt természetes szám – az X – nem lehet a legnagyobb természetes szám.

Mivel ez bármilyen számra igaz, így bármelyik szám esetén annak a feltételezése, hogy az a legnagyobb természetes szám, az ellentmondásra vezet, bármelyik természetes számra igaz, hogy az nem a legnagyobb természetes szám. Röviden megfogalmazva: nincs legnagyobb természetes szám.

Az egészet le lehetne vezetni egzaktabb módon a Peano-aritmetika definícióiból és axiómáiból – ugye a Peano-aritmetika a természetes számok leginkább elterjedt elsőrendű axiómarendszere –, de ettől most megkímélnék mindenkit.

Ez – hogy nincs legnagyobb természetes szám – nem világnézeti kérdés, hanem definíciókból és axiómákból matematikai összefüggések mentén levezetett állítás.

Kitalálhatsz persze más axiómarendszert és más definíciókat, csak az nem a természetes számokról fog szólni, a kérdésed viszont a természetes számokról szól. Amúgy lehet ilyet csinálni, új definíciókra építeni matematikát? Persze. Pl. a Boole-algebra egésze csak egy kételemű halmazzal, a {0,1} halmazzal operál, minden művelet csak erre a számhalmazra értelmezett. Csak ugye a Boole-algebra számainak halmaza nem ekvivalens a természetes számok halmazával, nincs közöttük bijektív leképezés.

~ ~ ~

De tegyük fel, hogy van legnagyobb természetes szám. Ez azt jelentené, hogy a természetes számok halmaza véges, és ennek a legnagyobb számnak is leírhatónak kell lennie véges számjeggyel.

Ha van legnagyobb természetes szám, akkor nem lehet olyan műveletet végezni rajta, aminek az eredménye nagyobb, mint ez a legnagyobb természetes szám. Márpedig a rákövetkezés művelete minden természetes számra értelmezhető, és az eredmény definíció szerint nagyobb a művelet operandusánál (ez nem a rákövetkezés műveletének, hanem a kisebb-nagyobb relációnak a definíciójából származik).

~ ~ ~

> Attól, hogy más számra végződik, még lehet egyenlő a két szám. A 2,9... se háromra végződik, mégis 3.

Valós számok halmazán ebben az egyetlen speciális esetben tényleg így van:

0,999… = 1

(Bár parázs viták szoktak kibontakozni, hogy valójában nem, a 0,999… csak tart az 1-hez, nem egyenlő azzal, de ellenérvként azt lehet elmondani, hogy itt nem határértékről van szó, a kilencesek száma nem tart a végtelenhez, hanem ténylegesen végtelen számjegysorról van szó.)

Így:

x+0,999… = x+1

De más valós számnál – feltételezve, hogy egész alapú, helyiértékes számábrázolásról van szó – nincs más ilyen összefüggés, minden nem egész számot csak egyféle módon lehet felírni tizedestört alakban. Természetes számok esetén meg két szám akkor és csakis akkor egyenlő, ha a számjegyei is azonosak. (Továbbra is feltételezve, hogy egész alapú, helyiértékes számábrázolásról van szó, mert pl. egy Fibonnaci-számrendszere ez már nem igaz.)

~ ~ ~

Másrészt a szám az egy absztrakt fogalom. A számot, mint értéket ne keverjük össze a számnak az ábrázolásával. Sokféle módon lehet ábrázolni ugyanazt a számot. De ettől az még ugyanazt az értéket fogja jelenteni, ugyanazok a matematikai összefüggések fognak rá fennállni. Attól, hogy a 42-t sokféleképpen lehet felírni:

- 42

- negyvenkettő

- 2A₁₆

- 101010₂

- 41,999…

- 162₋₁₀

- XLII

- 10^1,6232492903979…

- Fibonacci-kódolással: 10010000

- BCD kódolással: 01000010

De ettől még a 42 az az érték marad, ami. Természetes szám lesz, 41-nél nagyobb szám lesz, páros szám lesz, hat valódi osztója lesz, bővelkedő szám lesz, nem lesz négyzetszám, a 70-el a legnagyobb közös osztója a 14 lesz, stb…

Pont ezért a …99999 megközelítés többszörösen problémás. Egyrészt azt sugalmazza, hogy a 9-esek sorának van valahol egy vége, ami után már nem lehet semmiféle számot felírni. Ez megint a végtelen meg nem értése. A „felfoghatatlanul sokára, de mégiscsak véget érő” nem azt jelenti, mint a „soha véget nem érő”, azaz a „végtelen”. Tulajdonképpen maga a felírás is korrektebb lenne úgy, hogy: 99999…

Másrészt erősen a tízes számrendszerhez kötött, ezért is hozták fel a hexadecimális számrendszert, ahol a legnagyobb számjegy *értéke* nagyobb 9-nél, ezért „ugyanannyi” F számjeggyel felírt szám értelemszerűen nagyobb lesz az általad „legnagyobb” számnál. (Bármire is végződjön tízes számrendszerbeli alakban.)

Így hát neked azt, hogy van legnagyobb természetes szám, azt valahogy a szám értékéből – akár X-szel jelölve –, és nem annak a leírásából, ábrázolásából kellene levezetned.