Hogyan írom fel ennek a transzformációnak a mátrixát?

Szia!

Ha jól értelmezem ezt a z tengely irányából való vetítést, akkor a következőt javaslom:

Az alábbi vektorok v = (1, -1, 0) ill. u = (-1, -1, 2) a megadott síknak egy bázisát képezik. Vagyük hozzá a z = (0, 0, 1) vektort, ami ugye párhuzamos a Z-tengellyel, tehát a vetítés irányával. Ez a három vektor együtt R^3 egy bázisa. Nincs más dolgod, mint R^3 kanonikus bázisvektorait (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) kifejezni ebben az új bázisban. Ehhez meg kell oldani három lineáris egyenletrendszert. Nekem az jött ki, hogy (1, 0, 0) = 1/2 v - 1/2 u + 1 z ill. (0, 1, 0) = -1/2 v - 1/2 u + 1 z. Nyilván z = 0 u + 0 v + 1 z.

Ha ez megvan, akkor ki lehet számolni a R^3 kanonikus bázisvektorainak projekcióját a Z-tengely irányából véve a fentebb megadott síkra. Ehhez csupán el kell hagyni a Z-tengellyel párhuzamos komponenst a kiszámított koordinátavektorokból. Tehát: P[(1, 0, 0)] = 1/2 v - 1/2 u + 0 z ill. P[(0, 1, 0)] = -1/2 v - 1/2 u + 0 z no meg P[(0, 0, 1)] = 0 v + 0 u + 0 z. A transzformációs mátrixhoz vissza kell számolni mindent a kanonikus bázisban:

(1, 0, 0) képe 1/2 v - 1/2 u + 0 z = (1, 0, -1)

(0, 1, 0) képe -1/2 v - 1/2 u + 0 z = (0, 1, -1)

(0, 0, 1) képe 0 v + 0 u + 0 z = (0, 0, 0) a kanonikus bázisban megadva.

A mátrixod tehát:

1 0 0

0 1 0

-1 -1 0

Egy kicsit magam sem voltam benne biztos, hogy a feladat írója hogy képzelte ezt a vetítés dolgot, nekünk legtöbbször ortogonális projekciókat kellett kiszámítani. Úgy értelmeztem, mintha a z tengellyel párhuzamos "fénynyalábok" érkeznének, és egy vektor "árnyékát" kellene kiszámítani, amit a megadott síkra vet. Nincs jelentősége, hogy "felülről", vagy "alulról" nézelődünk. A lényeg, hogy egy-egy vektort felbontunk egy Z-tengellyel párhuzamos, és kettő a síkon rajta lévő vektor összegére. A projekció pedig utóbbi kettő összege, a Z-tengellyel párhuzamos komponens elhagyásával. Természetesen ez a projekció benne lesz a megjelölt síkban.

Azért nézd át, lehet, hogy csináltam benne hibát, mert végigdolgoztam az éjszakát :D

Na itt vagyok megint. A karakterisztikus polinomra az jött ki, hogy T(T-1)^2, vagyis a sajátértékek: 1 (duplán) és 0.

Az 1-hez tartozó sajátvektorok: (-1, 1, 0) és (-1, 0, 1)

A 0-hoz tartozó sajátvektor: (0, 0, 1)

A sajátbázis tehát ez a 3 vektor együtt (ill. nyilván skalárral szorozhatod őket).

A mátrixban az (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) vektorok képei lesznek az oszlopok. Ezeknek a vektoroknak a képeit tudod: az x,y koordináták maradnak, a z koordinátát pedig a z=-x-y képlettel kapod meg. Így a transzformáció mátrixa:

: 1 0 0

: 0 1 0

:-1-1 0

Nyilván a z=ax+by síkra való függőleges vetítés mátrixa ugyanígy

: 1 0 0

: 0 1 0

: a b 0

lesz.

Sajátbázisok azonnal adódnak, hogyha megérted, hogy mit csinál a leképezés grafikusan (#7 nem jó sajna).