Szerkesztettem egy 1 m kerületű háromszöget. Mennyi az esélye, hogy a területe 0,05 m²-nél nagyobb?

Nekem is az jön ki... Sajnos hittem Tom Benkonak :D

T(sz.háromszög) = a^2*gyök(3)/4, esetünkben a=1/3.

Egyébként én így csinálnám:

Én abból indulnék ki, hogy

T=a*m/2

Ahogy a hasonló feladatokat szoktuk, felveszünk egy koordináta-rendszert, és abban jelöljük a jó pontokat, és a két keletkező terület aránya lesz a valószínűség.

A pontokat az alapján határozzuk meg, hogy tudjuk(?), hogy ha vesszük az összes olyan háromszöget, melyeknek ugyanaz az egyik oldaluk és a közös oldalra merőleges magasságuk, akkor közölük az egyenlő szárú háromszögnek a legkisebb a kerülete. Ez azt jelenti, hogy ha adott az oldal és a magasság, akkor meg tudunk adni az ilyen paraméterű háromszögek kerületére egy minimumot (maximuma pedig érthető okokból nincs). Ha az egyenlő szárú háromszögnek ismert az a alapja és az m alaphoz tartozó magassága, akkor Pitagorasz tétele alapján a szár hossza gyök[(a/2)^2+m^2], kerülete pedig a+2*gyök[(a/2)^2+m^2], amiről tudjuk, hogy legfeljebb 1 méter, tehát

1 >= a+2*gyök[(a/2)^2+m^2], ezt rendezhetjük a-ra:

gyök{[(1-a)/2]^2 - (a/2)^2} >= m, értelemszerűen 0<a<1. Az ezen függvény alatti terület adja meg az eseményterünket, mivel így maximalizáltuk a magasság értékét aszerint, hogy mikor lehet még a háromszög kerülete 1 méter (mert, mint írtam, ha kisebb a magasság, akkor a minimális kerület is kisebb, a magasság eltolásával pedig növelhető a kerület). Szerencsére a függvény alatti területet nem túl bonyolult kiszámolni.

Most nézzük a "jó" területű háromszögeket, ehhez csak annak kell teljesülnie, hogy

0,05 =< a*m/2, rendezés után

0,1/a =<m, itt a hiperbola feletti rész lesz az érdekes, bár ha jobban meggondoljuk, érdemesebb a komplementer eseménnyel számolni, így a

0,1/a >= m-et nézzük. És itt az érdekesség, hogy ennek a függvény alatti területe teljesen lefedi az eseményteret, tehát a valószínűség itt 1 lesz, az eredetinél meg 0. De ha mondjuk 0,02-es területtel számolunk, akkor

0,02 <= a*m/2, rendezés után

0,04/a <= m, és itt már metszik egymást, és szépen lehet integrálni is őket, majd a kettőnek venni a hányadosát.

Tényleg 0,048 m2 jön ki. 1/(12*gyök3)

Az más téma, hogy ha egy 0,048 és 0 közti érték lenne a képletben, hogyan lehetne valószínűség-százalékosítani, egyáltalán darabszámosítani végtelen darab eltérő formájú háromszöget.

Igazából ki lehetne számolni a valószínűséget tetszőleges x eleme ]0, 0.048[ valós számra is.

Mondjuk vegyük azt a T(a,b,c)=*héron képlet* függvényt, ami ugye a,b,c oldalakhoz hozzárendeli a területet. Már eleve azt észre lehet venni, hogy ez valójában kétváltozós függvény, hiszen c=1-(a+b) mindig teljesül, azaz elég a-t és b-t tudni, így lesz egy T(a,b) függvényünk.

Na most meg kell határozni azt a halmazt, ahol ez a T értelmezve van.

Egyrészt a+b < 1, hiszen a harmadik oldal nem nulla, másrészt a+b > 1-a-b, azaz a+b > 1/2. Azaz lényegében az (a,b) párok honnan kerülhetnek ki?

Képzeljünk el egy 2D-s koordinátarendszert, x,y tengelyekkel és annak az 1. síknegyedét. Az (a,b) pontpárok az előző feltételek miatt az y=-x+1/2 egyenestől felfelé, az y=-x+1 egyenestől lefelé, az y tengelytől jobbra és az x=1 egyenestől balra. Ez egy szép trapéz, a területe könnyen számolható, itt értelmezzük a T(a,b) függvényünket. És most ide kellene kiokoskodni, hogy tetszőleges 0 és 0,048 közötti valós számra ennek melyik részhalmaza esetén lesz T(a,b) > mint ez a szám. Majd a két területet osztani, mint kedvező/összes eset. De ezt már nem tudom megoldani :D

Wadmalac, problémádra a válasz: a geometriai valószínűséget a területek arányával számoljuk. Tehát ha az ugyanolyan kerületű háromszögek közül mondjuk a maximális terület 1, a minimális pedig mondjuk 1/3 (így adjuk meg a lehetséges esetek feltételeit), akkor például arra a kérdésre, mekkora az esélye, hogy 1/2-nél nagyobb területű háromszöget kapok, azt mondhatom, az összes eset 2/3 terület (max - min), ebből a kedvező eset 1/2 terület, tehát a válasz: (1/2)/(2/3) = 0,75.

Aki jobban el szeretne mélyedni ebben, ajánlom sok egyéb mellett például a Prékopa András: Valószínűségelmélet című könyvet.

#7:

"a geometriai valószínűséget a területek arányával számoljuk."

Ezaz, köszönöm, ez volt a lényeg.

De még mindig nem teljesen értem, bocs, péntek délután, melót épp befejezve agyilag zokni vagyok.

Úgy gondolkodtam, hogy ha a háromszög három lehetséges oldalhosszát felviszem három derékszögű koordinátatengelyre, akkor kapok egy olyan exponenciális-szerű felületet, aminek a "közepe" (x,y,z): (0,3;0,3;0,3) pontban van, a koordinátatengelyekbe simuló "sarkai" meg (0;0;1) ben, (0;1;0)-ban és (1;0;0)-ban.

Ennek "közepén" van az egyetlen maximális területű pont, minden más felületi pont kisebb háromszög-területhez tartozik.

Ha 0 és a maximum közt kiválasztok egy bizonyos tetszőleges terület értéket, ahhoz ezen a görbefelületen egy zárt hurok-vonal fog tartozni, ha nem tévedek.

Istenigazából, ha arra vagyok kíváncsi, hogy mondjuk a lehetséges háromszögek hány százaléka fog kisebb kerületet adni az adott tetszőleges értéknél, akkor a 3D-s felület eme hurokvonalon kívüli területét kell arányítanom a komplett görbefelülethez.

Remélem követhető.

A 0,048 alatti konstanssal feladva a feladatot az a gond, hogy meg kéne még határozni, hogy milyen eloszlás szerint választunk az 1 m kerületű háromszögek közül.

Mert megtehetjük, hogy leképezzük egy kétdimenziós síkidom pontjaiként a lehetséges háromszögeket, és ezek közül választunk egyenletesen.

De miért pont egyenletesen választanánk? Lehetne úgy is, hogy először kiválasztjuk az x koordinátát egyenletesen, aztán a rögzített x mellé az y-t egyenletesen.

Más fog kijönni. Sőt, eleve nem kötelező az egyenletes eloszlás szerint választani...

A fontos tanulság az, hogy bár a köznyelvben a "véletlenszerűen" gyakran jelenti az, hogy "egyenletes eloszlás szerint", egy matematikai problémában ez nem feltétlenül van így. Itt most igazából meg kéne gondolnunk, hogy a kérdező vajon milyen eloszlás szerint választott a háromszögek közül. Meg kéne gondolnunk biomechanikai, pszichológiai stb. szempontokból, hogy a különböző 1 m kerülető háromszögeknél melyiknek kisebb és melyiknek nagyobb a valószínűsége, hogy egy ember pont azt fogja megszerkeszteni, ha "csak úgy" próbál háromszöget rajzolni.