Ha végtelen sok algebrai számot összeszorzunk, akkor a végeredmény mindig algebrai szám lesz?

> Nem megyek bele a válaszod "szétcincálásába"

Mivel a kérdező kérdését úgy tűnik, hogy megválaszoltuk, így nyugodtan…

> Nem "lehet" eljutni, hanem eljutott, mégpedig Gödel, a prímszámpéldás bizonyításával.

Gödel arra jutott, hogy egy axiómarendszer:

a) vagy ellentmondásmentes, de akkor szükségszerűen létezik olyan állítás, ami igaz, de nem bizonyítható,

b) vagy minden állítás bizonyítható, viszont akkor az axiómarendszer szükségszerűen nem lehet ellentmondásmentes.

Ennyiről szól Gödel első nemteljességi tétele. Az külön kérdés volt, egyike volt a Hilbert-problémáknak, hogy a természetes számok egyik legnépszerűbb axiómarendszere, a Peano-féle axiómarendszerről bizonyítani kellene, hogy ellentmondásmentes. Itt jött Gödel második nemteljességi tétele, amely szerint minden – adott feltételeknek megfelelő – axiómarendszerben bizonyíthatatlan, hogy maga az axiómarendszer ellentmondásmentes.

Tehát azt, hogy egy adott axiómarendszer ellentmondásos, azt lehet bizonyítani az axiómarendszeren belül. De azt, hogy egy axiómarendszer ellentmondásmentes, azt nem lehet. Ettől még lehet ellentmondásmentes, csak ezt nem lehet bizonyítani. Hiszen ha ellentmondásmentes, akkor az első nemteljességi tétel szerint tartalmaz olyan igaz állításokat, amelyek nem bizonyíthatóak. Gödel kvázi azt állította a második nemteljességi tételében, hogy ha egy axiómarendszer *valóban* ellentmondásmentes, akkor egy állítás biztos, hogy gödeli – azaz igaz, de nem bizonyítható –, ez pedig az az állítás, hogy maga az axiómarendszer ellentmondásmentes.

~ ~ ~

Viszont ettől még a Peano-féle axiómarendszer ellentmondásmentességét nem cáfolta meg semmi. Vagy ha úgy tetszik, senki nem bizonyította a Peano-féle axiómarendszer ellentmondásosságát ezeddig. Pedig azért csámcsogtak eleget ezen az axiómarendszeren eleget. Meg bár a természetes számok axiomatizálása csak viszonylag későn történt meg, de az algebra egésze a természetes számokra épül. Ha valóban mély, súlyos ellentmondás lenne benne, akkor annak csak ki kellett volna már buknia. De ez nem történt meg. Immár Gödel óta tudjuk, hogy az ellentmondásmentessége nem bizonyítható, de eddig az ellenkezőjére – az ellentmondásosságára – sem utal semmi, tehát ésszerű elfogadni ellentmondásmentesnek.

#20, 2*Sü-nek:

Látom ismered a vágólap használatát. :)

Én mág mindig maradnék Gödel legsarkalatosabb bizonyított megállapításánál, ami a kérdező kérdését hipotetikussá teszi:

Gödel „nem-teljességi” tétele azt mondja ki, hogy minden ellentmondásmentes, a szám fogalmát tartalmazó, áttekinthető axiómarendszerben megfogalmazható olyan – aritmetikai – állítás (a továbbiakban: G), amely rejtjelezve azt fejezi ki, hogy „én nem vagyok levezethető”. Ez a G állítás a rendszer eszközeivel nem bizonyítható és nem cáfolható

> Látom ismered a vágólap használatát. :)

Persze, hogy ismerem. De ez hogy kapcsolódik ide?

> Gödel „nem-teljességi” tétele azt mondja ki, hogy minden ellentmondásmentes, a szám fogalmát tartalmazó, áttekinthető axiómarendszerben megfogalmazható olyan – aritmetikai – állítás (a továbbiakban: G), amely rejtjelezve azt fejezi ki, hogy „én nem vagyok levezethető”. Ez a G állítás a rendszer eszközeivel nem bizonyítható és nem cáfolható

Ez így korrekt megfogalmazás. Már csak az a kérdés, hogy ennek mi köze a kérdező kérdéséhez… A kérdező kérdése nem egy ilyen falszifikálhatatlan állításként fogalmazható meg.

#22 a kérdező feltett egy "egyszerü" kérdést. Erre meg is kapta a választ. Nem kell hozzá Gödel, hogy megértsd.

A kérdező állítása formálisan:

Minden megszámlálhatóan végtelen (p(1),p(2)...) eleme {algebrai számok} rendezett számsokaságra igaz, hogy produktum i=1 "től végtelenig" p(i) eleme {algebrai számok}

Ez az állítás akkor hamis, ha a tagadása igaz, tehát

LÉTEZIK megszámlálhatóan végtelen (p(1),p(2)...) eleme {algebrai számok} rendezett számsokaságra igaz, hogy produktum i=1 "től végtelenig" p(i) NEM eleme {algebrai számok}

Def: p transzcendens:=p nem algebrai szám

A π transzcendens, a π felírható megszámlálhatoan végtelen racionális szám szorzataként. Az összes racionális szám algebrai.

Elemi logika. Mi nem tiszta?

#22, #24-nek:

Nekem tudod mi a "tiszta"?

Hogy neked Gödel "nem tiszta", ha ezt megkérdezed!