Ha végtelen sok algebrai számot összeszorzunk, akkor a végeredmény mindig algebrai szám lesz?

"Az algebrai számok összege, különbsége, szorzata, és hányadosa (sőt racionális kitevőjű hatványai) is algebrai, így testet alkotnak"

[link]

3-as; ezzel csak az a baj, hogy véges sok számra igaz.

Például az is igaz, hogy racionális+racionális=racionális, viszont végtelen sok racionális szám összege simán lehet irracionáis, ugyanígy végtelen sok algebrai szám összege lehet transzcendens.

Hogy a szorzatuk hogyan alakulhat, azt passzolom, egyelőre.

"Az algebrai számok összege, különbsége, szorzata, és hányadosa (sőt racionális kitevőjű hatványai) is algebrai, így testet alkotnak"

Az bármely 2 algebrai számra igaz. Ebből az indukciós szabályt használva belátható, hogy bármely 3-ra 4-re ... -n-re ahol n>1 és egész és véges.

Végtelen sok szám összegzésére simán belátható pofon egyszerűen, csak ki kell pécézni egy transzcendens számot legyen a pi.

3,1415926535 ...

3+0,1+0,04+0,001+0,0005+0,00009+0,000002+...

Végtelen szorzatra már jóval nehezebb lenne magunktól rájönni, hogy jöhet ki a pi, de nem is kell magunktól.

Erre van a Wallis-formula, ahol végtelen sok algebrai szám szorzata lesz transzcendens.

Továbbá nem is mindig szám lesz pl 1*2*3*4*5*6*7*8*...*n*... ekkor végtelen lesz.

Na de akkor mi van ha 4*0,25*4*0,25*4*0,25*...

4*0.25 = 1 ekkor mondhatom hogy 1 lesz mert mindig az 1 számot írtuk fel ilyen szorzat alakba és úgy szoroztuk össze kvázi így zárójeleztük (4*0,25)*(4*0,25)*... .

De mi van akkor ha azt mondom hogy 0,25*4 = 1 kvázi így zárójelezem 4*(0,25*4)*(0,25*4)... ekkor meg az jön ki hogy 4 lesz. Vagy ha 4*0,25*4*0,25*4*0,25*... azt mondom hogy 1, akkor a szorzatból ha elhagyom az első 4-est akkor meg a negyede lesz vagyis 0,25. Azaz lesz ez a szorzat 0,25*4*0,25*4*0,25*... na de erre is hihetem azt hogy ez az 1. Igazából ez divergens, nem egy véges szám, de nem is végtelen.

Matematikailag nem azt mondják hogy végtelen sok számot szoroztunk össze hanem vettünk egy sorozatot, ahol a sorozat első tagja egy szám a második tagja az előző tag és egy szám szorzata ... az n.-ik tagja az n-1-tagja szorozva egy számmal és ennek a sorozatnak a határértékét keressük.

"#4: Ha egy algebrai számot megszorzok egy másikkal, az eredmény is algebrai lesz. Ha ezt a mondatot elmondom végtelen sokszor, attól még ugyanúgy igaz marad, mi változna menet közben?"

Lényegében amit fentebb is leírtam, amire konkrét példa a Wallis-formula. Továbbá pont egy lényeges része a dolognak hogy csak véges sokszor fogod tudni elmondani, nincs olyan hogy végtelenszer mondtad el. A végtelen matematikai konstrukciók tulajdonságai nagyon másak mint a végeseké.

Az összegnél mi változik? Elvégre össze lehet úgy végtelen sok algebrai számot adni (sőt, elég, ha csak racionálisak), hogy az eredmény transzcendens legyen...

Ugyanez a helyzet a szorzatnál is. Tehát abból, hogy véges sok szorzata micsoda, nem lehet kiindulni.

(2/1)*(2/3)*(4/3)*(4/5)*(6/5)*...

Minden eleme algebrai.

Szorzata pedig π/2, ami transzcendens.

A teljes indukció bármely nagy n-re tud állítást igazolni, de ez nem azt jelenti, hogy a végtelenre is.

Végtelen igazolásához transzfinit indukció lenne szükséges. Viszont itt létezik ellenpélda.

Bármely két algebrai szám szorzata is algebrai szám. Így teljes indukcióval belátható, hogy bármely véges n darab algebrai szám szorzata is algebrai szám.

Végtelen sok algebrai számot viszont nem tudunk összeszorozni. Nincs annyi időnk, nincs annyi papír hozzá, stb… Persze nyilván ha absztraháljuk a problémát, úgy ezek a fizikai akadályok elhárulnak, ekkor viszont… Nos… Ekkor sem tudunk végtelen számú algebrai számot összeszorozni. A végtelen pont azt jelenti, hogy valaminek nincs vége. Nem tudunk a szorzások sorának a végéhez érni, mert nincs egy utolsó szorzás, ami után a szorzat VÉGÜL előállhatna.

Az ilyen végtelen szorzatot tulajdonképpen nem is a szó naiv értelemben vett szorzatként kell kezelni. Ezt csak határértékkel tudjuk megközelíteni. Ugye pl. ha összeadjuk 2 hatványainak reciprokát:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …

Akkor ennek a határértéke 2 lesz. De mit jelent ez a 2? Azt, hogy ez a végtelen összeg eredménye? Nem, mert végtelen műveletről van szó, így nem lehet a végére érni. A 2 azt jelenti tulajdonképpen, hogy az összeg 2 felé TART. Akárhány véges számú tagot is veszel, az összeg soha nem fogja elérni a 2-t. Viszont bármilyen 2-nél kisebb számot mondasz, tudok mondani olyan véges számú tagot, amennyi véges számú tag összege ezt meghaladja.

Röviden, mikor végtelen szorzatokról, összegekről beszélünk, akkor csak nyelvi egyszerűsítés az, hogy ezeknek az értékéről, szorzatról, összegről beszélünk. Valójában ilyen nincs, csak ezeknek a végtelen szorzatoknak, összegeknek a határértéke az, ami van.

Tehát ami a véges tagból álló összegekre, a véges számú tényezőkből álló szorzatokra igaz, az nem feltétlenül igaz a végtelen összegekre, szorzatokra, pontosabban ezen műveletek eredménye híján ezeknek a határértékére. Igen, lehet, hogy algebrai számok végtelen szorzatának a határértéke egy transzcendens szám lesz. Lehet, hogy nem is egy szám lesz, nem lesz egy értelmezhető érték, mert az egész kifejezés divergens.