A gravitációs tömeg és az inerciatömeg miért egyenlő amikor tárgyakat leejtünk?

A gravitációs és a tehetetlen tömeg egyenlő. Nyilván el lehet képzelni egy olyan világot egy olyan fizikával, amiben nem az. Sőt tudunk rá hozni a mi hétköznapi világunkból analógiákat. Pl. egy hajóra nyilván ugyanúgy hat a gravitáció, de van egy felhajtóerő, ami ezzel szemben hat. A hajó lebeg, kvázi olyan, mintha nulla lenne a gravitációs tömege. De ettől még van tehetetlen tömege, kell erő, hogy meglökd, felgyorsítsd, vagy éppen megállítsd.

Hogy a két tömeg miért azonos? Tényleg azt lehet erre mondani, hogy megmértük, és azonosnak találtuk. Aztán ennek nyomán született meg az általános relativitáselmélet, ami magyarázatul szolgál a két tömeg azonosságára, ha kicsit máshogy tekintünk a gravitáció természetére.

~ ~ ~

Viszont ha a két tömeg különböző lenne, akkor is igaz lenne, hogy vákuumban a különböző tömegű testek egyszerre esnének le (nyilván ha azonos magasságban, azonos időpontban, azonos kezdősebességgel engedjük el őket). Ha nem így lenne, az érdekes kérdéseket vetne fel. Hiszen egy 2 kg-os test „t” idő alatt fog leesni. Ha egy 1 kg-os test ennél több, vagy kevesebb idő alatt, akkor mi a helyzet, ha azt a 2 kg-os tömeget kettéfűrészeljük? És ha csak annyira fűrészeljük ketté, hogy azért van egy hajszálvékony kapcsolat közöttük? És ha csak össze vannak kötve egy cérnával? Mennyire kell szorosan kötni azt a cérnát, hogy ne két darab 1 kg-os, hanem egy darab 2 kg-os tömegként viselkedjen? Mi a helyzet egy 1 kg-os üreges vasgömbben egy 1 kg-os vasgolyóval? Lenne mit fürkészni, kapnánk egy elég nehézkes mechanikát. Szerencsére a mi fizikánk egyszerűbb ennél.

#2:

Homogén E térben különböző töltés/tömeg arányú tárgyak eltérően gyorsulnak, mégsincs logikai ellentmondás, ha kettéfűrészelsz valamit.

"Pl. egy hajóra nyilván ugyanúgy hat a gravitáció, de van egy felhajtóerő, ami ezzel szemben hat. A hajó lebeg, kvázi olyan, mintha nulla lenne a gravitációs tömege."

Hol szedted ezt a baromságot? Ennyi erővel akkor neked is nulla a gravitációs tömeged, mert ülsz a széken és felfelé ezzel szemben hat a támasztóerő...

@dq #3:

Valóban. Bár ott egy nagyobb tárgy esetén a töltés/tömeg arány nem változik, ha kettéfűrészelek egy nagyobb objektumot. Illetve van töltéskiegyenlítődés is. Itt meg az a problémás, hogy mikortól lesz valami egy objektum, és mikortól számít két különböző objektumnak. Pl. két csavarral összecsavarozott fadarab esetén oldható a kötés, valamennyi rés van a fa és a csavar atomjai, molekulái között.

#4:

Mondom !kvázi! olyan. Egy hajóra hat F gravitációs erő. Meg hat rá egy ugyanekkora nagyságú, ellentétes irányú, azaz egy -F felhajtó erő. A két erő eredője nyilván így nulla lesz. Nyilván a felhajtó erőtől nem szűnik meg a hajó gravitációs tömege, az annyi marad, amennyi volt, csak a vizsgált kérdés szempontjából ez bár nem azonos, de hatásában mégiscsak ekvivalens azzal, mintha lenne egy tárgy, amire 0 N gravitációs erő hat, és nem hat rá felhajtó erő.

Nem tudom miért nehéz ezt megérteni.

Van egy hajó. Legyen 1000 kg tömegű (ez a gravitációs tömege). Erre hat:

F[súly] = m*g = 1000 kg * 9,81 m/s² = 9810 N

gravitációs erő, ami lefele ható erő.

Erre a hajóra hat ugyanekkora nagyságú, de ellentétes irányú felhajtó erő, azaz:

F[felhajtó] = - 9810 N

∑F = F[súly] + F[felhajtó] = 9810 N + (-9810 N) = 0 N

Ez teljesen ekvivalens azzal, mintha lenne egy 0 kg gravitációs tömeggel rendelkező hajónk, de nem a vízben, hanem légüres térben:

F[súly] = 0 kg * 9,81 m/s² = 0 N

F[felhajtó] = 0 N

∑F = F[súly] + F[felhajtó] = 0 N + 0 N = 0 N

És igen, ha ugyanezt a 0 kg gravitációs tömeggel rendelkező hajót vízre tennéd, akkor a levegő felhajtóerejét elhanyagolva nem merülne el 1 mm-t sem a vízben, és tényleg nem hatna rá felhajtó erő sem. De ez itt lényegtelen, az ekvivalens jelleg abból adódik, hogy mindkét esetben a függőleges irányú erők eredője nulla.

Szintén ekvivalens ez azzal, mintha lenne egy „üres” univerzumban, ahol nincs semmiféle gravitációs kölcsönhatást okozó objektum, ott lebegne egy hajó a semmiben.

~ ~ ~

Ha a gravitációs erő és a nehézségi erő nem egyezik, akkor a két dolog – közegellenállást és hasonlókat elhanyagolva – ekvivalens egymással. A súlyos tömeg ebben a szélsőséges helyzetben 0 lenne, de ettől még lenne tehetetlen tömeg, ugyanúgy erőt kellene kifejteni a test gyorsítására. Ha nagy tömeget akarunk nagy gyorsulásra késztetni, akkor nagy erőt kell kifejteni. (Pl. a hajós analógia ezért is jó, mert hiába nem kell „emelni” a hajót, hiszen emeli azt a víz, attól még vontatni a hajót, ahhoz munkát kell végezni, erőt kell kifejteni.)

#8 A szemléletmódod alapvetően rossz. Hiába számszerűsíted az eredményeket egy általános iskolás szintre, attól még a gondolatmenet rossz lesz.

Amit te csinálsz az egyszerűen annyi, hogy a valóságot leegyszerűsíted két dimenzióra. Pl. egy sík asztallapon lévő pénzérme is amit mozgathatunk az is két dimenziós, és persze, hogy ilyenkor nem értelmes beszélni a súlyos tömegről mivel a harmadik irány alapból el van hanyagolva.

De a valóság nem ilyen. Amikor azt mondod hogy lebeg a hajó, vagy utóbbi példánál a pénzérme mozgása, az fizikailag csak annyit takar, hogy egy szabadságfokjától megfosztod a rendszert.

Na akkor tegyünk rendbe 1-2 dolgot. Maradjunk a newtoni fizikánál.

Newton 2. törvénye (F=ma) az az egyenlet, ami összekapcsolja egy test mozgását a rá ható kölcsönhatásokkal. TETSZŐLEGES kölcsönhatásokkal. Semmit nem mond az F-ről, oda azt rakok be, amit akarok. Van itt egy arányossági tényezőnk, az 'm', ami azt akarja kifejezni, hogy adott kölcsönhatások másféleképpen hathatnak a különböző testek mozgására. Ezt nevezzük tehetetlen tömegnek. Ez egy teljesen általános állítás, szó nincs arról, hogy konkrétan milyen kölcsönhatásokról kell beszélnünk.

Emellé Newton még hozzácsapott egy kölcsönhatást, amit sikerült leírnia: a gravitációt. F=G*m_1*m_2/r^2, ami két test között fellépő erőt adja meg. G egy konstans, ami a mértékegységrendszerünk önkényességéből fakad, r a két test távolsága, a két m pedig ún. csatolási állandók. Azaz azt mondom, hogy ez az erő nem független a két test valamilyen tulajdonságától. Ezt elneveztük súlyos tömegnek, de full nem triviális, hogy ugyanarról a mennyiségről van-e szó, mint a Newton 2. törvényében, hiszen ez két teljesen különböző dolog. Egyik csak egy random kölcsönhatás, van még belőle néhány másik, a másik pedig egy általános törvény, ami megmondja, hogy miként kell leírni a testek mozgását.

Megmértük (még mindig mérjük) jó nagy pontossággal, és azt találtuk, hogy a kettő megegyezik. Emiatt aztán ha Newton 2. törvényébe a F helyébe a gravitációt írom be, akkor egész nyugodtan le tudok egyszerűsíteni az egyik m-el, és azt kapom, hogy a gravitáció minden testre ugyanakkora gyorsulással hat, ha az egyik testre 'ráülök' és onnan nézem.

Ez az ekvivalenciaelv. Az, hogy ez miért így van, nem túl értelmes kérdés, mert bármi választ is kapsz rá, ugyanúgy meg lehet ezt kérdezni arra is, és sose lesz vége. Lehet, hogy majd később lesz egy fejlettebb elmélet, amiben már nem kell feltenni az ekvivalenciaelvet, mert mélyebb elvekből indul ki, és ez már csak egy szükségszerű következmény lesz. Persze akkor is lehet feltenni miértes kérdéseket, de ugyanúgy nem lesz értelmes.

A felhajtóerő meg nem tudom hogy jött ide, de eléggé zavaros, hogy miről beszéltek. Ha egy testre felhajtóerő hat, akkor az teljesen független annak anyagi tulajdonságától. Mindegy mekkora a tömeg (ilyen vagy olyan), csak egy számít: a geometriája, pontosabban a térfogata. Ugyanis azért van felhajtóerő, mert a közegekre is ugyanúgy hat a gravitáció, és a nyomásnak lesz gradiense, és ha egy testet teszek bele, akkor az alsó részén nagyobb nyomás fog hatni, mint a felsőn, ezért eredőben felfelé mutató erő kapok. A gravitáció itt csak úgy jön be, hogy a közegre hogyan hat, de nincs abban itt semmi érdekes meg szemléletes az ekvivalenciaelvre vonatkozóan.