Az N pozitív egész szám pozitív osztóinak a szorzata 3 595-diken. Határozzuk meg az N szám utolsó számjegyét!?

Az osztók szorzata 3^595-en.

A szám a 3 egy hatványa, különben lennének az osztók szorzatának más prímtényezői is.

Ha elkezdjük sorra összeszorozni a 3 hatványait, azt tapasztaljuk, hogy a kitevőbe háromszögszám kerül, vagyis n(n+1)/2 alakú szám. Ez azért van, mert ha összeszorozzuk az azonos alapú hatványokat, akkor a kitevők összeadódnak.

Innen kiszámíthatjuk N-et, N=3^n:

595*2=(600-5)*2=1200-10=1190

ezt kell két szomszédos szám szorzatára bontani, a kisebb lesz n:

n(n+1)=1190

n^2+n-1190=0

ebből megoldóképlettel pozitív egész megoldást kell kapni. Ha nincs ilyen megoldás, akkor a feladat megoldhatatlan. Ha van megoldás, akkor N=3^n.

Figyeld meg, hogy a 3 hatványainak ciklikusan ismétlődnek az utolsó jegyei: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 és így tovább. Tehát ha veszed a kitevő négyes maradékát, akkor megtudhatod a hatvány utolsó számjegyét.