Az a, b, c, d természetes számokat 5-tel osztva hányadosul egymásutáni páratlan számokat és maradékul nullától különböző számokat kapunk. Határozzuk meg az (a+b+c+d) ^2009 szám utolsó 2009 számjegyét?

ez így megoldhatatlan. PL., ha az ember veszi a,b,c,d-nek az 5*k+1 alakú számokat (k=1,2,3,4), tehát ahol a maradék mindig 1, akkor a+b+c+d páros lesz, ezért páros számjegyre végződik, míg ha a d-nél 2-re vesszük a maradékot, akkor már páratlan lesz a szám, ezért az utolsó számjegy páratlan lesz.

Ha a maradékokra lenne olyan kitétel, hogy csak különbözőek lehetnek, akkor a hányadosokra elég lenne az a kitétel, hogy azonos paritásúak, az utolsó 2009 számjegy mind 0 lenne.

Ugyanis: Az a,b,c,d hányadosai mind azonos paritásúak, ezért az összegük páros, a maradékok összege 1+2+3+4=10, ezért a+b+c+d osztható lesz 10-zel, mert a+b+c+d=5*(a hányadosok összege)+a maradékok összege = 5*páros szám + 10.

Ezért (a+b+c+d)^2009 osztható lesz 10^2009-cel

Tudom én is, de akkor legalább odarakna mellé egy másik mondatot, hogy tudunk-e segíteni, hogy induljon el, mit kellene ehhez használni...

Ehelyett kimásolja a feladatot, bedobja ide, a végén a !-t átírja ?-re és várja hogy oldjuk meg helyette a háziját.

"ez így megoldhatatlan." - Végül is nem megoldhatatlan,... csak nagyon macerás :)

Pontosan így szól a feladat szövege?

"maradékul nullától különböző számokat kapunk"

Arról nem tudunk semmit, hogy egymástól különbözők-e?

Első ránézésre csak akkor lehet mondani elegáns dolgot a feladatról, ha maradékok nullától és egymástól is különböző számok. Ekkor ugyanis r[1] + r[2] + r[3] + r[4] = 10,

Mivel

a = 5q + r[1]

b = 5(q + 2) + r[2]

c = 5(q + 4) + r[3]

d = 5(q + 6) + r[4] (q páratlan, 0 < r[i] < 5)

a + b + c + d = 20q + 60 + r[1] + r[2] + r[3] + r[4] = 20q + 70 = 10(2q + 7)

Tehát (a+b+c+d) ^2009 szám utolsó 2009 számjegye 0 (és az, hogy a hányadosok páratlan számok, nem különösebben releváns).