Mit írhatunk x és y helyére, hogy az 5x273y alakú szám osztható legyen 3-mal, illetve 12-vel? Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amelynek pontosan 12 osztólya van!

3-mal: Hárommal az a szám osztható, amelynek számjegyeinek összege osztható 3-mal.

4-gyel: Néggyel az a szám osztható, amelynek utolsó két számjegyébıl álló szám osztható

néggyel.

[link]

Esetedben a számjegyek összege 17 + x + y x-et és y-t úgy kell meghatározni, hogy a szám osztható legyen 3-al, azaz x+y = {1,4,7,10,13,16} (18-nál nagyobb nem lehet). Ahhoz hogy osztható legyen 12-vel is az kell, hogy 4-el is osztható legyen. Ekkor osztható 3*4=12-vel is. A fenti szabály alapján (4-el...) y={2,6} és az x+y-ra felírt összefüggés miatt x={2,5,8} ha y==2 és x={1,4,7}, ha y==6

Az osztója pontos j-vel írandó!

A feladat

3, 12 | 5x273y = N

12-vel osztható az a szám, amely osztható 3-mal is és 4-gyel is.

Kezdjük a végén

4-gyel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 4-gyel, vagyis

4|3y

A szám 32 vagy 36 lehet, tehát

y = 2

vagy

y = 6

3-mal osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 3-mal osztható.

y = 2 esetén a számunk

N = 5x2732

A számjegyek összege

19 + x

Hárommal osztható lesz, ha

x = 2

vagy

x = 5

vagy

x = 8

Tehát így 3 számot kapunk

522732

552732

582732

y = 6 esetén a szám

N = 5x2736

a számjegyek összege

23 + x

Hárommal osztható, ha

x = 1

vagy

x = 4

vagy

x = 7

Az ezekkel képezhető 3 szám

512736

542736

572736

A két hármas csoport, összesen ha szám felel meg a feladat feltételeinek.

****************

Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amelynek pontosan 12 osztója van!

Egy szám osztóinak számát megkapjuk, ha a törzstényezős felbontásban szereplő prímszámok kitevőinek értékéhez 1-t hozzáadunk, majd az így kapott számokat összeszorozzuk.

Például:

Ha egy szám törzstényezős felbontása

N = (p1^3)*(p2^4)*(p3^5)

akkor az egyes kitevők 1-gyel növelt értéke

3 + 1 = 4

4 + 1 = 5

5 + 1 = 6

így az osztóinak száma

d(N) = 4*5*6

d(N) = 120

Vissza a példához

d(N) = 12

A 12-t kell felbontani két szám - a kitevők 1-gyel nagyobb értékei - szorzatára, majd ezek alapján kikeresni a legkisebb értéket adó párost a legkisebb prímszámok felhasználásával.

Nagy választék nincs, mert

2*6

vagy

3*4

lehet

A két legkisebb prímszám: 2 és 3

Ezekkel a két számunk

2 és 6 esetén

N1 = 2^(2- 1)*3^(6 - 1)

N1 = (2^1)*(3^5) = 2*243

N1 = 486

N2 = 2^(6 - 1)*3^(2 - 1)

N2 = (2^5) *3^1 = 32*3

N2 = 96

3 és 4 esetén

N3 = 2^(3 - 1)*3^(4 - 1)

N3 = (2^2)*(3^3) = 4*27

N3 = 108

N4 = 2^(4 - 1)*3^(3 - 1)

N4 = (2^3)*(3^2) = 8*9

N4 = 72

Az utolsó a legkisebb, tehát a megoldás

N4 = 72

=======

Van még egy szám, amelynek 12 osztója van

N5 = 2^(12 - 1)

N5 = 2^11

N5 = 2048

de ez labdába sem rúghat. :-)

DeeDee

***********