Két természetes szám négyzetének különbsége 255. Határozzuk meg az összes ilyen természetes számot! De hogy?

Minden páratlan szám, két szomszédos szám négyzetének a különbsége.

Űgy lehet megtudni melyikeké, hogy elfelezed, hozzáadsz és levonsz 0.5-öt, és a számokat négyzetre emeled.

255/2=127.5

Tehát a 127 és 128 négyzetének a különbsége a 255

Ha a 255-öt elosztod 3-al, az 85 lesz.

Ehhez plusz minusz 2-öt hozzáadsz, akkor is jó lesz.

A 83, 85 és 87-ből kis gondolkodással kiszámolhatod, hogy a 41 és 44 számok négyzetének különbsége is 255 lesz

Öttel osztva 51, ebből kiszámolható (+2,+4,-2,-4), hogy a 23 és 28 négyzetének különbsége is 255 lesz.

Ezt megérteni úgysem fogod, én sem tudom elmagyarázni, de majd a matekosok segítenek.

Vagy nem :(

1. válaszoló: Amit írtál megoldást azzal csak egyetlen egy a baj: csak egy megoldást adsz meg egyértelműen, és nem bizonyítod azt, hogy több létezik-e avagy sem.

A feladatban a jó öreg a^2-b^2=(a+b)(a-b) azonosságot kell felhasználni. Tekinted azokat a 255 prímtényezős felbontását, és innen meg meg szerintem mindenki meg tudja oldani.

Három megoldást adtam meg, több nem létezik

És én fél perc alatt fejben számoltam ki, ti számolgassátok amivel akarjátok.

ha jól értem, akkor az első is valami hasonló megfontolást használ, mint a második, az (a+b)(a-b)/a^2-b^2 azonosságot, csak max nem tudatosan, de ez van a hátterében.

A második válasz letisztultabb, sokkal érthetőbb, és nem utolsó sorban abból kijön minden megoldás.

Az első válaszoló ellenben kihagyott egy megoldást, mert 4 megoldás létezik.

Áruld már el a negyediket, mert én erősen kételkedem.

Telán a -1 és 16 jó lehetne, ha a -1 természetes szám lenne. De nem az

pontosan.

ezért szükséges a precíz, rendezett gondolkodás és problémamegoldás a matekhoz. A jó intuíció az csak az alap.

nyugi, csak éberségvizsgálat volt. :)

Számold hozzá, hogy miközben én ezeket irogatom és számolgatom, egyszerre 8 asztalon pókerezem a neten.

Úgy nem könnyű ám.

Kamionsofőrkém!

Tévedni emberi dolog, mondta a sündisznó... :-)

A 4. megoldás az 1 - 255 pár. Ugyanis a (255 + 1)/2 = 128 és (255 - 1)/2 = 127 szintén megoldás, lévén négyzetük különbsége 255.

Csak Kamionsofőr kedvéért. :-)

A jó öreg azonosságból kiindulva:

255 = a² - b² = (a - b)(a + b)

Az azonosság akkor áll fenn, ha a jobboldal mindkét tényezője osztója a bal oldalnak.

Mivel 255-nek 8 osztója van, 4 olyan pár képezhető belőlük, melyek szorzata 255.

Ezek

255 - 1

85 - 3

51 - 5

17 - 15

Legyen az osztópár d1,d2

ekkor

a + b = d1

a - b = d2

Összeadva

2a = d1 + d2

a = (d1 + d2)/2

Kivonva

2b = d1 - d2

b = (d1 - d2)/2

Ezzel mind a 4 számpár meghatározható, ami megoldása a feladatnak.

DeeDee

**********